access2003のプログラムをwindows2003サーバーもしくはlinux上で稼動させたいのですが、よい方法がないでしょうか？

Microsoftのサポートページにも書かれているように

AccessはWebでのデータ共有には向きませんし、開発も容易ではありません。

IIS 上での Jet データベース エンジンの使用について

・どのようなデータを管理していて

・どの程度の台数のパソコンから

・どの程度の頻度（１台あたり１日にｘｘ分など）で使えるようにしたいのか

などを算出することが可能であるならば代替案も出てくると思いますがいかがでしょう？

kn1967 さんが回答しているように、Access の DBMS である Jet をWeb上で使うことはお勧めできません。

ただし、データベース自体は、ODBC 経由で、他のプログラムから利用することができます。

たとえば、PHP であれば、PDO_ODBCを介して利用できます。また、Perl であれば、Perl ODBCモジュールを介して利用できます。

参考サイト

• ODBCによるAccessデータベースへのアクセス