3次関数の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080728154618
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080728155100
<質問>
解答例のメモにありますが、なぜそう定めるのですか?
例えば、y=ax^3+bx^2+cxのような形の奇関数はないのですか?(a,b,cは0でない)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A...
f(x)が奇関数であるとは、全ての実数zに対して、
が成り立つことです。これは奇関数の定義でもあります。
f(x)=ax^3+bx^2+cxとすると、
f(-z)=-az^3+bz^2-cz
となり、b=0のとき以外、全ての実数zについて-f(z)=f(-z)が成り立つことはありえなくなってしまいます。だから、xの次数が2である項の係数を0にして、グラフGを奇関数にするために3ap+b=0と定めたわけですね。定数項を0に定めたのも同じ理由です。
少し説明が雑だったかもしれません。わからなければもう1度質問してくださいm(__)m
y=ax^3+bx^2+cx (a,b,cは0でない)
が奇関数であるためには、
ax^3+bx^2+cx = -{a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)}
を全てのxについて満たすようなa, b, cの組が必要になりますが
この式を整理すると
2bx^2 = 0
となり、全てのxについてこれを満たすようなbの値は0しかありません。
従って、ご質問にあるような形の奇関数は存在しません。
そのため、解答例のような形の奇関数を作るよう、pおよびqを定めているのだと思います。
(余談ですが、この解答例の答案の書き方はちょっと分かりづらいですね)
大変によくわかりました。ありがとうございます。
>余談
はい。補足のようなものがほしいです。
>わからなければもう1度質問してください
親切に言ってもらえて、嬉しいです。
今回は、これだけで、とてもよくわかりました。ありがとうございます。