<問題>

曲線と接線の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080801101150
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080801101259
<質問>
解答例中の赤いメモです。これは本当に必要なのでしょうか?
もしそうならば、その理由を教えてください。宜しくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/08/01 10:35:13
  • 終了:2008/08/01 13:55:43

回答(2件)

id:Sampo No.1

Sampo回答回数556ベストアンサー獲得回数1042008/08/01 12:43:04

ポイント20pt

\frac{k^2+1}{36}>0

というのは、k^2+1と36が同符号である、ということです。

ax^2+bx+c=0の形の方程式は、aとcが同符号なら2つの解は同符号になりますよね。

2解が同符号なのだったら、「実解があって」「解の和が0以上だったら」0以上の解を持つって言えるわけです。

id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/08/01 13:44:06

ポイント50pt

36t^2 - 15kt + k^2 + 1=0

議論している2次方程式の2つのtの解をα、βとおきます。α>0、またはβ>0だということを示したいわけですね。ということは

1.α>0、β<0

2.α<0、β>0

3.α>0、β>0

の三通りのうちのどれかになればよいわけです。

そして今、

αβ=(k^2+1)/6 (>0)

です。つまり、αβ>0というわけです。

このことより、1番と2番の可能性はなくなりました。αとβが同符号ということですからね。

さて、αβ>0より、α>0、β>0 か、 α<0、β<0の二つのどちらかになりましたが、少なくとも1つ、t>0となる解を持つためには、α>0、β>0となるしかありません。だから、α+β>0ということを示し、α>0かつβ>0を示したというわけです。αとβがともに負だったら、(α+β)は0よりも小さくなってしまいますからね。

つまり、(k^2+1)/6 (>0)を書いた理由は

1.α>0、β<0

2.α<0、β>0

の可能性をなくすためです。もしこれを書かないと、α+β>0という条件が通用しなくなってしまうのです。確かにα+β>0ならば、αとβ、少なくとも一方は正です。しかし、1、2番の可能性を考えると、α+β<0になる可能性も出てきてしまうのです。それではα+β>0だけでは条件が不完全となってしまいますね。だからαβ>0を用いたのです。

id:massa-will

わかりやすく教えてもらい、すっきりと理解できました。ありがとうございます。

2008/08/01 13:53:58

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