過渡現象を勉強し始めた者です。

あまり具体的な質問ではないのですが、とにかく意味不明というか「?」という感じで戸惑っています。
例えば
【RC直列回路において、t = 0でスイッチSを閉じたときの電流i(t)の時間変化の様子を表す式を導け。】
という問題で、回路方程式が
【Ri(t) + 1/C∫[t,-∞]i(t)dt = E】
と書かれます。この式はいいのですが、
【i(t)のラプラス変換をI(S)とし、変換すると、
RI(s) + 1/C{q/s + I(s)/s} = E/s

とあり、よく分かりません…。ラプラス変換というのは、一応簡単な計算方法は数学で勉強したことはあるのですが、変換の仕方は決まっていましたよね?なぜi(t)のラプラス変換をI(s)とする、と定められるのでしょうか?というか、なぜ、ラプラス変換を使うのでしょうか?

ごちゃごちゃした質問で申し訳ありません。何が分からないかもよく分かっていないのですが、もしかしたら、ラプラス変換が分かっていないのでしょうか?それともどんどん計算していけば、そのうちだんだん分かってくるものでしょうか?

よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/08/12 23:39:20
  • 終了:2008/08/13 22:12:03

ベストアンサー

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/08/13 02:21:31

ポイント60pt

まず、ご質問の根本である「ラプラス変換をなぜ使うのか?」ということですが

回答としては「線形な定係数の常微分方程式が簡単に解けるから」です。

つまりラプラス変換は微分方程式を簡単に解くための「道具」と考えましょう。


解きたい問題は要約すれば、ある初期条件の下で

Ri(t)+1\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)d\tau=E

を満たすi(t)を求めるということです。(積分変数は混乱のないように \tauに変えました)

これは線形1次微分方程式(積分方程式)です。


これをラプラス変換を使わずに i(t)について解くには両辺をtで微分して

 R \frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=0とし、両辺をi(t)で割って積分し、

初期条件(t=0のとき)から積分定数を決定…という流れになると思います。

この問題はこの方法でもさほど苦労せず解けます。

しかしさらに難しい回路方程式だったらどうでしょう。

例えば回路にコイルが入ってくるとさらにややこしいことになります。

a\frac{d^2 i(t)}{dt^2}+b\frac{di(t)}{dt}+ci(t)+d=0のような形の2階微分方程式を解かねばなりません。

解けない事はないですが、これはかなり厄介です。


そこでラプラス変換の出番です。

ラプラス変換でtの関数からsの関数に変換すると、tの微分積分がsを掛けたり割ったりしただけの式になります。

そのような式は I(s)= \ldotsという形に簡単に変形できます。

これを逆変換してやることで i(t)= \ldotsと簡単に解けることになります。


あるtの関数と、そのラプラス変換であるsの関数は一対一に対応することがわかっているのでこのような方法が取れるのです。

(正確には「有限な不連続点を除いて」一対一に対応するのですが、工学系の信号は大抵連続なのでまず問題になりません)



>なぜi(t)のラプラス変換をI(s)とする、と定められるのでしょうか?

とご質問にありますが、i(t)がわからないのでその具体的なラプラス変換もわかりません。

そこでi(t)のラプラス変換をI(s)とおき、I(s)について解いて具体的なラプラス変換を求めましょうということです。

通常の方程式で、値がわからないのでxとおいて式を立ててxについて解きましょう、とやっているのと同じです。


長くなりましたがrapuntuleru様のご理解の助けになれば幸いです。

id:rapuntuleru

丁寧な回答ありがとうございます。

私が疑問に思っていたことがを、ピンポイントで答えていただいてとても助かりました。

ありがとうございます。

2008/08/13 22:11:38
  • id:yo-kun
    ん?tex記法が表示されたりされなかったりしますね。
    変な式が表示されて不明な点はコメントにてご質問下さい。
  • id:Kumappus
    http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/cemath/cemath11.html
     
    掛け算・割り算は対数(log)によって、足し算・引き算になった。ラプラス変換法はこれと似ており、微分・積分をラプラス変換により掛け算・割り算にするものである。これにより微分方程式を代数方程式の問題とすることができる。
     
    に集約できそうですね。工学系やってるとゲインとかパワーは対数でないととても扱えない(開ループゲイン80dB(=10,000倍)のアンプなんてざらですから)んですけど、同様に信号の変化についてはラプラス変換してから式の変形や計算をしないと手と目が疲れちゃう(w

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