<問題>

放物線と円の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080813150356
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080813150453
<質問>
解答例中のメモです。『円の中心から放物線までの最短距離=円の半径』ということですか?
確信が持てません。教えてください。
また、以下の自分なりのアプローチが上手くいきません。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080813150712
どうすればよいかを教えてください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/08/13 15:24:27
  • 終了:2008/08/13 17:52:43

回答(3件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/08/13 17:06:44

ポイント30pt

>解答例中のメモです。『円の中心から放物線までの最短距離=円の半径』ということですか?

その通りで問題ないです。

接点がある状態から円の半径を小さくすると、接点がなくなってしまうので、特に証明も必要なく使ってもOKです。



>また、以下の自分なりのアプローチが上手くいきません。

回答の方法がオーソドックスな方法でいいとは思いますが・・・・。

この場合、中心と①の距離をrとおいているので、接点以外の接線上の(最短ではない)いろんな点からの距離という事になっているのではないかと思います。


せっかく接線を出したのですから、円の接線の式も出してそれらが一致するというとき方でも解けるのではないかと思います。(やっていないので、多分という事ですが・・・。)


暑い中頑張っておられますね。この調子で頑張ってください。

id:massa-will

回答に加え、励ましをいただけ、嬉しいです。ありがとうございます。

2008/08/13 17:48:56
id:kuni11 No.2

kuni11回答回数216ベストアンサー獲得回数42008/08/13 16:50:27

ポイント10pt

放物線に内接する円において、円の中心から放物線までの距離は、円の中心から接点までの距離が最短になります。

それより短い距離が存在すれば、円と放物線は交わっており、内接していないということになりますので。

中心から接点までの距離は円の半径ですから、解答例のようなアプローチになります。

id:yo-kun No.3

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/08/13 16:55:19

ポイント40pt

>『円の中心から放物線までの最短距離=円の半径』ということですか?

そうです。接していますからね。

円の内部に放物線は入ってませんので円周上にある点が最短距離です。



> また、以下の自分なりのアプローチが上手くいきません。

おそらく「接している」という条件からまず(a, 9/4-a^2)における放物線の接線を出すというアプローチを

なさったのだと思います。

しかしその接線を中心との距離が半径に等しいという条件にしか利用していません。

これでは直接(0, r)と(a, 9/4-a^2)の距離がrに等しいとして式を立てても同じことですので

このままでは接線を求めた意味がありません。


未知数はaとrの二つあるわけですからもう一つ「接する条件」があるはずです。

円の中心と(a, 9/4-a^2)を結んだ線と、放物線の(a, 9/4-a^2)における接線は直交するはずです。

円の中心と(a, 9/4-a^2)を結んだ線の傾きは(9/4-a^2-r)/aで、放物線の接線の傾きは-2aです。

この2つの線は直交するのですから、傾きを掛け合わせると-1ですよね。

この条件も加えてやれば解けるのではないでしょうか?

id:massa-will

大変によくわかり、すっきりとなりました。ありがとうございます。

2008/08/13 17:46:37

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