数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。

h(x)=x^2cos(x) - sin^2(x), g(x)=x^2sin^2(x)
と置くとき、lim[x→+0]{h(x)/g(x)}
極限値を求める問題ですが、私は当初ロピタルの定理と使って解けそうと思い、h(x)、g(x)の3次導関数まで求めてみましたが、複雑になる一方で不定形(0/0形)が解消しそうにありません。ロピタルの定理以外での解法が正解かもしれませんがそうなら益々判りません。どなたか解析に強い方、解答までを教えてください。

回答の条件
  • URL必須
  • 1人3回まで
  • 登録:2008/08/29 12:20:12
  • 終了:2008/08/30 00:03:26

ベストアンサー

id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/08/29 18:34:36

ポイント27pt

テイラー展開を使えば

h(x) ~ x^2(1-x^2/2) - x^2 = -x^4/2

g(x) ~ x^4

となるんですぐ分かるんですが、高校で使っていいものかどうか。根性で4回まで微分すればよかったんですね^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B...

id:wanisankamesan

なるほどテーラー級数ですね。これは簡明です。

2008/08/30 00:02:26

その他の回答(2件)

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/08/29 14:43:30

ポイント27pt

ロピタルの定理でいけますよ。あと一回でした(^^;

h(x),g(x)ともに4階導関数まで求めてみてください。


\frac{d^4h(x)}{dx^4}=-12\cos{x}+8x\sin{x}+x^2\cos{x}+8\cos{2x}

\frac{d^4g(x)}{dx^4}=24\cos{2x}-32x\sin{2x}-8x^2\cos{2x}

となると思います。

よって

\lim_{x\to+0}({\frac{d^4h(x)}{dx^4}/\frac{d^4g(x)}{dx^4})=-\frac{1}{6}

ですから、ロピタルの定理より

\lim_{x\to+0}(h(x)/g(x))=-\frac{1}{6}



ところで入試問題とありますが大学入試問題でしょうか?

大学入試だとしたら高校数学でロピタルの定理は(公式には)習わないと思うので

これ以外にどのようにして解くのか気になります。

それとも今の高校生はロピタルの定理を習うのでしょうかね?


URLはダミーです

http://q.hatena.ne.jp/

id:wanisankamesan

4階まで求めさせるとは!!

しんどい問題です。

2008/08/30 00:02:24
id:ita No.2

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/08/29 18:34:36ここでベストアンサー

ポイント27pt

テイラー展開を使えば

h(x) ~ x^2(1-x^2/2) - x^2 = -x^4/2

g(x) ~ x^4

となるんですぐ分かるんですが、高校で使っていいものかどうか。根性で4回まで微分すればよかったんですね^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B...

id:wanisankamesan

なるほどテーラー級数ですね。これは簡明です。

2008/08/30 00:02:26
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042008/08/29 22:39:24

ポイント26pt

 級数展開すると、

 sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+・・・

 cos(x)=1-x^2/2+x^4/4!-x^6/6!+・・・

∴x→+0のとき、sin(x)→x, cos(x)→1-x^2/2

h(x)/g(x)→{x^2(1-x^2/2)-(x)^2}/{x^2(x)^2}

={x^2-x^4/2-x^2}/{x^4}

={-x^4/2}/{x^4}

=-1/2

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node98.htm...

id:wanisankamesan

テーラー級数の中味までありがとうございました。

2008/08/30 00:02:53
  • id:yo-kun
    念のため。
    お二人ともh(x)のx^4のオーダーの近似評価を間違えてますよ。

    sin(x)≒x-x^3/3…なので
    sin^2(x)≒x^2-2x^4/3…となり
    h(x)≒-x^4/6…です。
  • id:ita
    あちゃーそうですね。
    失礼しました。
  • id:rsc96074
    (x-x^3/6+...)(x-x^3/6+...)=x^2-x^4/3+...
    h→x^2(1-x^2/2)-(x^2-x^4/3)=x^2-x^4/2-x^2+x^4/3=-x^4/6
     yo-kunさんの言うとおりのようです。ところで、高校生はどう解くのだろう。これまた、面倒そうですね。(^^;
  • id:kuro-yo
    初等的に解く方法考えてみました。
    もし、高校生がマクローリン展開を習っていれば(習ったような気がするのですが)、

    ・まず、極限値が有限である二つの関数があった場合、極限値の積は、関数の積の極限に一致するという定理がありますので、与式に極限値が1である関数(sin(x)/x)^2を掛けます:これで分母からsin^2(x)を消去する事ができます。

    ・分母はx^4になりますから、分子を4次までの多項式と5次以上のベキ級数の和に分けて、4回微分して、4次までの係数を決定します。sin^2(x)の項は、倍角公式で(1-cos2x)/2にしておいた方が、計算が簡単かもしれません。

    ・すると、3次までの係数は0、4次の項だけに係数-4/4!=-1/6がありますので、求める極限値は-1/6となります。

この質問への反応(ブックマークコメント)

トラックバック

  •     - bookmarks for the day     2008-08-31 03:51:31
    夢みることり 2人で歌わせていただきました Ver.たれ なやや‐ニコニコ動画(夏) 『ライオン』を友達が歌ってみた【NEKO仮面】‐ニコニコ動画(夏) マクド・オブ・ドナルドに洗脳された
  • メモ 数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。 h(x)=x^2cos(x) ? sin^2(x), g(x)=x^2sin^2(x) と置くとき、lim[x→+0]{h(x)/g(x)} 極限値を求.. - 人力検索はてな
「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません