高校数学の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080902010446
＜解答例＞
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080902010546
＜質問＞
解答例にある付箋です。教えてください。
また、①をいじると確かに下から２行目の３式が得られますが、なにか適当な感じで
気持ちが悪いです。答えの見通しがついてないから、そう感じるのか、あるいは、し
かたがないものとして考えるべきものなのでしょうか？
No.2
426
20
60pt
必要十分条件を理解していますか？
【１】では「f(x)は必ず偶数になるわけだから、x=0やx=-1、x=1の時も必ず偶数になる必要がある」という条件から、
・f(0)⇒c=2l ・・・・（１'）
・f(1)⇒a+b+c=2m ・・・・（１'）
・f(-1)⇒a-b+c=2n ・・・・（１'）
と表すことが出来ます。これを変形して
・a=m+n-2l・・・・（１）
・b=m-n・・・・（２）
・c=2l・・・・（３）
とも表現できますよね。
つまり、
「f(x)は必ず偶数になる]⇒「それならば、少なくともx=0,x=1,x=-1の時には偶数でなくてはいけない」⇒「x=0,x=1,x=-1の時には偶数になるためには、（１）～（３）の式が最低限必要だ」
という論理になります。これをまとめると、
「f(x)は必ず偶数になる]⇒「（１）～（３）の式が最低限必要」
ということになるわけです。
ところがこれだけでは、xが他（0、1、-1以外）の値の時に偶数になるかどうかわかりませんよね。そこで、
【２】では、
「（１）～（３）の式が成り立つ（ならば）」⇒「f(x)は必ず偶数になる」
を証明しようとしているわけです。
【２】では、「（１）～（３）の式が成り立つならば」という前提条件とを用いて、a,b,cをそれぞれm+n-2l,m-n,2lに置き換え、さらにxを数を「偶数」と「奇数」に分けて、xがどちらでもf(x)が偶数になることを証明しています。証明が出来ているので、
「（１）～（３）の式が成り立つ（ならば他に条件など無くても十分に＝m,l,nの値がどんな値になっても十分に）」⇒「f(x)は必ず偶数になる」
ということが示せました。
「f(x)は必ず偶数になる」⇒「（１）～（３）の式が最低限必要」
「（１）～（３）の式が成り立てば」⇒「f(x)は必ず偶数になる」
という必要条件も十分条件も両方示せたわけですから、
・f(x)は必ず偶数⇔（１）～（３）が成り立つ⇔（１'）～（３'）の式が成り立つ
というわけです。
ここで、（１'）～（３'）の式から
c=2l a+b+c=2m a+b+c=2n ⇔c,a+b+c,a+b+cが偶数の時
でも良いわけですが、cが偶数なわけですから、a+bが偶数であればa+b+cも偶数なわけです。そこで条件をさらに綺麗に整理してあげて、
（１'）～（３'）の式が成り立つ⇔c,a+b,a-bが偶数の時
と変形してあげると
f(x)は必ず偶数⇔（１）～（３）が成り立つ⇔（１'）～（３'）の式が成り立つ⇔c,a+b,a-bが偶数の時
となり、
f(x)は必ず偶数⇔c,a+b,a-bが偶数の時
となるわけです。
No.1
2710249
40pt
納得がいかないのは、解答例の解き方が良くないからではないでしょうか？
(1) で、f(x)がすべてのxにおいて偶数になるという条件から必要条件を求めるということを書いて、そのあとa+b、a-b、ｃが偶数ということが必要条件であることを示す。
(2) で、逆からの証明で、a+b、a-b、ｃの場合、f(x)がすべてのxにおいて偶数であることを示す。
(3) (1)(2)から、必要十分条件として解答を書く。
このようにきちんと書いてあれば、少しは納得がいくかと思います。
また、mlnというような新たな(不必要に多い)変数を置く解き方には、好き嫌いがあると思います。（私は好きではありません。）
私の趣味からみても、この解答はいまいち気持ちが悪い感じはします
後、私の解答が与えられたものと違うので、その点はご容赦下さい。
私の解答は、a+b及びｃが偶数という解答です。
（a+b-2b=a-bなので、a+bが偶数の時a-bが偶数というのは言うまでもなく当然のこと。）
解答(解答例とかぶるところは多少省略しています。)
(1)
まず、f(x)がすべてのxにおいて偶数になるという条件から、
xに0と1を入れて、
a+b及びｃが偶数。
(2)
逆にa+b及びｃが偶数の場合、
f(x) =ax^2+bx+c=(ax+b)x+c
xが偶数の場合、与えられた条件よりf(x)は偶数になります。
xが奇数の場合、xを2m+1とおいて、
f(x) =ax^2+bx+c=(ax+b)x+c=(a(2m+1)+b) (2m+1)+c=(2am+a+b) (2m+1)+c
与えられた条件より、(2am+a+b)は偶数になりますから、f(x) は偶数になります。
よって、すべてのxについてf(x) は偶数。
(3)
よって求めるf(x)がすべてのxにおいて偶数になる必要十分条件は、a+b及びｃが偶数。
こんな感じではいかがでしょうか？
コツコツと勉強されているようですね。
この調子で、がんばってください。
すっきりとした別解をありがとうございます。
>mlnというような新たな(不必要に多い)変数を置く解き方には、好き嫌いがあると思います。
はい。違和感がありました。触れていただいて、すっきりしました。
励ましをいただき、ありがとうございます。kappagoldさんをはじめ、回答を寄せてくださる
皆さんは、独学をしている自分には先生です。合格に向けてがんばっていきます。
No.2
42620
ここでベストアンサー
60pt
必要十分条件を理解していますか？
【１】では「f(x)は必ず偶数になるわけだから、x=0やx=-1、x=1の時も必ず偶数になる必要がある」という条件から、
・f(0)⇒c=2l ・・・・（１'）
・f(1)⇒a+b+c=2m ・・・・（１'）
・f(-1)⇒a-b+c=2n ・・・・（１'）
と表すことが出来ます。これを変形して
・a=m+n-2l・・・・（１）
・b=m-n・・・・（２）
・c=2l・・・・（３）
とも表現できますよね。
つまり、
「f(x)は必ず偶数になる]⇒「それならば、少なくともx=0,x=1,x=-1の時には偶数でなくてはいけない」⇒「x=0,x=1,x=-1の時には偶数になるためには、（１）～（３）の式が最低限必要だ」
という論理になります。これをまとめると、
「f(x)は必ず偶数になる]⇒「（１）～（３）の式が最低限必要」
ということになるわけです。
ところがこれだけでは、xが他（0、1、-1以外）の値の時に偶数になるかどうかわかりませんよね。そこで、
【２】では、
「（１）～（３）の式が成り立つ（ならば）」⇒「f(x)は必ず偶数になる」
を証明しようとしているわけです。
【２】では、「（１）～（３）の式が成り立つならば」という前提条件とを用いて、a,b,cをそれぞれm+n-2l,m-n,2lに置き換え、さらにxを数を「偶数」と「奇数」に分けて、xがどちらでもf(x)が偶数になることを証明しています。証明が出来ているので、
「（１）～（３）の式が成り立つ（ならば他に条件など無くても十分に＝m,l,nの値がどんな値になっても十分に）」⇒「f(x)は必ず偶数になる」
ということが示せました。
「f(x)は必ず偶数になる」⇒「（１）～（３）の式が最低限必要」
「（１）～（３）の式が成り立てば」⇒「f(x)は必ず偶数になる」
という必要条件も十分条件も両方示せたわけですから、
・f(x)は必ず偶数⇔（１）～（３）が成り立つ⇔（１'）～（３'）の式が成り立つ
というわけです。
ここで、（１'）～（３'）の式から
c=2l a+b+c=2m a+b+c=2n ⇔c,a+b+c,a+b+cが偶数の時
でも良いわけですが、cが偶数なわけですから、a+bが偶数であればa+b+cも偶数なわけです。そこで条件をさらに綺麗に整理してあげて、
（１'）～（３'）の式が成り立つ⇔c,a+b,a-bが偶数の時
と変形してあげると
f(x)は必ず偶数⇔（１）～（３）が成り立つ⇔（１'）～（３'）の式が成り立つ⇔c,a+b,a-bが偶数の時
となり、
f(x)は必ず偶数⇔c,a+b,a-bが偶数の時
となるわけです。
とても丁寧な回答をいただけ、ゆっくりと思考を追うことができ、
わかっているところも再度納得することができました。わからなかったところは勿論です。
ありがとうございました。
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とても丁寧な回答をいただけ、ゆっくりと思考を追うことができ、
わかっているところも再度納得することができました。わからなかったところは勿論です。
ありがとうございました。