曲線の長さを求める問題です。


[tex:y=a/2(e^{x/a}+e^-{x/a})](ただしx>a)
x=0からx=aまでの部分の長さを求めたいです。
曲線の長さを求める公式
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/kyokusen-no-nagasa.html
を用いて解こうと考えているのですが、場合わけなど必要になるのでしょうか?
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/09/16 21:08:21
  • 終了:2008/09/16 22:11:04

ベストアンサー

id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/16 22:04:35

ポイント35pt

(ただしx>a)の部分は(ただしx<a)の間違いと思ってよろしいでしょうか。</p>

x>aだとすると曲線のx=0からx=aまでの曲線は定義されていませんので。

以下、その前提で。


特に場合わけは必要ありません。提示されたURLにもあるように

\int_0^a \sqrt{1+y'^2}dx

の提積分をそのまま計算すればOKです。

y'=\frac{1}{2}(e^{x/a}-e^{-x/a})

ですから

1+y'^2=1+\frac{1}{4} (e^{2x/a}-2+e^{-2x/a})=\frac{1}{4} (e^{2x/a} + 2 + e^{-2x/a})=\frac{1}{4} (e^{x/a}+e^{-x/a})^2

となり、結局求める曲線の長さは

\frac{1}{2}\int_0^a(e^{x/a}+e^{-x/a})dx

を求めればよいことになります。

答えは

\frac a 2(e-e^{-1})

ですかね。

id:hatyone

ありがとうございます。すみません。a>0の間違えでした。

解までありがとうございます。計算してみます。

2008/09/16 22:10:27

その他の回答(1件)

id:t_shiono No.1

t_shiono回答回数256ベストアンサー獲得回数222008/09/16 21:34:36

ポイント35pt

はずしてたらすみません。

まず、条件の(ただしx>a)はa>0の間違いですよね?

この場合の話ですが、

hatyoneさんが参照しているURLにおいて、y=f(x)の長さを求める方の式をそのまま適用すれば十分だと思うのですが、何か問題がありましたでしょうか?

ちなみに、このURL中でa < t < bと書いてあるのは、a < x < b が正しいと思われます。

id:hatyone

ありがとうございます。そうです。a>0のミスです。申し訳ありません。

友人と解法について話していた際に「場合分けが必要」とだけ強く言われてどう分ければいいかを聞きそびれてしまい、さらに何故場合わけが必要なのかもわからず質問してしまいました。

ありがとうございました。

2008/09/16 22:09:23
id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/16 22:04:35ここでベストアンサー

ポイント35pt

(ただしx>a)の部分は(ただしx<a)の間違いと思ってよろしいでしょうか。</p>

x>aだとすると曲線のx=0からx=aまでの曲線は定義されていませんので。

以下、その前提で。


特に場合わけは必要ありません。提示されたURLにもあるように

\int_0^a \sqrt{1+y'^2}dx

の提積分をそのまま計算すればOKです。

y'=\frac{1}{2}(e^{x/a}-e^{-x/a})

ですから

1+y'^2=1+\frac{1}{4} (e^{2x/a}-2+e^{-2x/a})=\frac{1}{4} (e^{2x/a} + 2 + e^{-2x/a})=\frac{1}{4} (e^{x/a}+e^{-x/a})^2

となり、結局求める曲線の長さは

\frac{1}{2}\int_0^a(e^{x/a}+e^{-x/a})dx

を求めればよいことになります。

答えは

\frac a 2(e-e^{-1})

ですかね。

id:hatyone

ありがとうございます。すみません。a>0の間違えでした。

解までありがとうございます。計算してみます。

2008/09/16 22:10:27

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