z=x+iyに対し、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)である正則関数を考えます。

u(x,y)=x^2 - y^2 + 2x +1であり、f(-1)=0 です。
このとき、v(x,y)はどうなるでしょうか?
また、f(z)をzで微分するとどうなるでしょうか?

コーシーリーマンの方程式を利用して解こうとしているのですが、v(x,y)の式の積分定数の値を定めることが出来ず困っています。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/09/17 03:40:05
  • 終了:2008/09/24 03:45:02

回答(3件)

id:ita No.1

ita回答回数204ベストアンサー獲得回数482008/09/17 12:11:24

ポイント27pt

コーシー=リーマンは

  • Vx =-Uy=-2y
  • Vy =Ux = 2(x+1)

ですね。dV = (Vx,Vy)・(dx,dy)をどんな経路でもいいから(-1,0)から(X,Y)まで積分すればいいです。計算が簡単になる経路を選べばいいです。たとえば(-1,0)→(X,0)→(X,Y)

はじめの区間はx方向に進むから\int_{-1}^X Vx(x,0) dxだけどVx(x,0)=0なんで0。

次は\int_0^Y Vy(X,y) dy = \int_0^Y 2(X+1) dy = 2Y(X+1)

なのでV(x,y)=2y(x+1)。実際これでコーシーリーマン成立します。

id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/17 16:06:49

ポイント27pt

u_x=2x+2

u_y=-2y

ですからコーシーリーマンの方程式より

v_x=2y

v_y=2x+2

であることがわかります。

v_x=2yですからv(x,y)=\int v_x dx=2xy+C(y)です。

これを再びyで偏微分すると

v_y=2x+C'(y)

コーシーリーマンの方程式よりv_y=2x+2でしたから、結局C'(y)=2つまりC(y)=2y+Cです。

これでv(x,y)=2xy+2y+Cとわかりました。


さて、f(-1)=0ですからv(-1,0)=0C=0と積分定数が定まり

v(x,y)=2xy+2yとなります。


なお、正則関数の微分は

f'(z)=u_x+iv_x

です。(一般的にzで表せる式にはなるとは限りません)

id:yo-kun No.3

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/17 22:47:27

ポイント26pt

終了ではないということは微分結果まで…ということでしょうか。

(違っていたらすみません)


f(z)=(x^2 - y^2 + 2x +1)+i(2xy+2y)=(x^2 +2ixy +y^2)+2(x+iy)+1=(x+iy)^2+2(x+iy)+1=z^2+2z+1=(z+1)^2

なので

f'(z)=2(z+1)


もしくは、正則関数の微分はf'(z)=u_x+iv_xなので

f'(z)=(2x+2)+2iy=2(x+iy)+2=2z+2

です。

  • id:ita
    質問者、放置プレイwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
    分かったとか分からないとか書いてくんないとショボーン。

    ちなみにUからコーシーリーマンで出したVx,Vyをベクトル場と見なし、
    これが rot (Vx,Vy)=0 で積分が積分経路によらないためには △U=0 という条件が必要です。実際問題の例ではそうなっています。

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  •     - twitters for the day     2008-09-18 03:37:39
    15:36 トイレを我慢してはならない。作業中であれ娯楽中であれ、我慢して続けてしまいたくなるが、作業にしろ娯楽からの快楽の享受にしろ効率が下がってしまうのでまず生理的欲求を満
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