フーリエ係数を求める問題です。


(-π,π)に定義する以下に示す周期2πの関数を考えます。
f(x)=1(0<x<π)
f(x)=0(-π<x<0)
このときn=3までのフーリエ係数を求めたいです。

よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/09/18 00:56:00
  • 終了:2008/09/25 01:00:03

回答(1件)

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/18 11:05:28

ポイント60pt

f(x) \approx \frac{a_0}{2}+a_1\cos{x}+b_1\sin{x}+a_2\cos{2x}+b_2\sin{2x}+a_3\cos{3x}+b_3\sin{3x}

とします。

定数項は

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1dx=\frac{\pi}{\pi}=1

です。

また、n>0に関して

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos{nx}dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n}\sin{nx} \right\]_0^{\pi}=0

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin{nx}dx = \frac{1}{\pi} \left [-\frac{1}{n}\cos{nx} \right\]_0^{\pi}=\frac{1}{n\pi}(1-\cos{n\pi})=\frac{1}{n\pi}\left{1-(-1)^n\right}

従って

\begin{eqnarray}a_0&=&1\\a_1&=&0\\a_2&=&0\\a_3&=&0\\b_1&=&\frac{2}{\pi}\\b_2&=&0\\b_3&=&\frac{2}{3\pi}\end{eqnarray}

です。

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  • 屁理屈オヤジのヘー理屈 - 同じような質問だ 屁理屈オヤジのヘー理屈 2008-09-18 08:40:38
    question:1221301191(いわし) http://q.hatena.ne.jp/1221301371(人力) こういうときは、いわしにはいわし用に(お気軽にどうぞ~的な)、人力には人力用に質問文を変えるのがよろしいか、と思うで
「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

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