<テキスト>

高校数学の積分。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080918173615
<質問>
変位の量の概念がいまいちつかめません。x=f(t)としたとき、速度を定積分すれば、xの増分が
でてくると思うのですが、定積分などしなくとも、なぜf(b)-f(a)ではいけないのでしょうか。
また、当然のように道のりのこともわかりません。なぜ絶対値なのでしょう。わかりやすく教え
てください。お願いします。

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  • 1人2回まで
  • 登録:2008/09/19 10:43:15
  • 終了:2008/09/19 17:00:48

ベストアンサー

id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/09/19 12:10:13

ポイント100pt

x=f(t)と表されていれば、増分はf(b)-f(a)でOKです。定積分を使っているのは、x=f(t)と表されている項目(速度・加速度)の一つ下の項目(速度と変位・位置)です。〔速度と変位・位置〕では、x=f(t)と表されていません。だから、速度v(t)を積分して、新しい関数x=f(t)を生み出そうとしているわけです。

このように新しく積分して、位置を表す関数f(t)が出来れば、後はf(b)ーf(a)を計算するだけです。テキスト文の、S=∫v(t)dt (範囲はa→b) を計算すると、f(b)ーf(a)と出てくるはずです。massa-willさんの言うとおり、やはりf(b)-f(a)で良いわけです。

さて、道のりですが、ちょっとここは複雑です。まず変位と道のりは何が違うか、ということなのですが、変位はどれだけ移動したか、ということです。

例えばA点、B点、C点、D点とあったとします。各点から次の点までの距離は2mとしましょう。全ての点は2m間隔で離れていると思ってください。A→D点は6mですね。ここで、タケシ君という少年が、A点からD点まで進んだとき、変位はいくらでしょう、と言われたら、間違いなく6mです。AからDの間の距離は6mですから、進んだ距離は6mです。

AからD点まで、常にまっすぐ進めば、「道のり」も6mでOKです。しかし!例えばAからB点まで進んだときに忘れ物に気が付いて、一旦A点に戻ってからD点に向かったとしたときはどうなるでしょう。変位は6mですが、タケシ君が実際に移動した「道のり」は6mではありませんね。AからBに行って、一旦BからAに戻っていますから、実際に移動した道のりは10mです。

では、関数で考えましょう。ある点Pが、数直線上を移動しており、その速度を表す関数が

v= t^2 - 3t + 2

だったとします。tが1から3に変化するとします。このとき、変位と道のりはどうなるでしょうか。

変位は、テキスト文に書いてあるように、f(3)ーf(1)でOKです。vを積分して位置を表す関数f(t)を作り出し、計算すればOKです。

しかし、道のりはどうでしょうか。道のりというのは、「点が実際に動いた距離」ですから、絶対にプラスにならなければなりません。

v= t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2)

ですから、1<t<2のときvはマイナスであり、2<tのときにvはプラスになります。</p>

もし絶対値をつけないで∫v(t)dt(1→3)を計算したらどうなるでしょう。少し見づらくなりますが、(1→3)というのは1から3までの範囲を積分するということです。

∫v(t)dt(1→3)

=∫v(t)dt(1→2) + ∫v(t)dt(2→3)

=f(2) - f(1) + f(3) - f(2)

=f(3) - f(1)

となり、結局は変位が出てきてしまうのです。

しかし、道のりはこれではダメです。tが1から2の間に進んだ道のりも、プラスでなくてはダメなのです。tが1から2のときvはマイナスになりますから、その間に進んだ距離はマイナスで出てきてしまいます。vがマイナスというのは、点が数直線上のマイナス方向に進んでいるという事ですから、距離はマイナスで出てきてしまうのです。

※↑上の解説です。上の文で理解できたら読み飛ばしてください。仮に、tがaからbまで変化したとします。

f(a)=-1、f(b)=ー3であるとき、実際に移動した距離は2ですが、f(b) - f(a) = -2となってしまいますね。このように、vがマイナスだと、実際進んだ距離はマイナスと出てきてしまいます。※

だから絶対値を付けて、距離がマイナスで計算される部分もプラスにしてあげるわけです。

∫|v(t)|dt(1→3)

=∫|v(t)|dt(1→2) + ∫v(t)dt(2→3)

=-∫v(t)dt(1→2) + ∫v(t)dt (2→3)(∵1→2では常にマイナス)

=f(1) - f(2) + f(3) - f(2)

=f(1) + f(3) -2f(2)

となるわけです。

id:massa-will

とても丁寧な回答で、すごくわかりやすいです。ありがとうございます。

2008/09/19 12:32:53

その他の回答(2件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/09/19 11:57:22

ポイント25pt

まずは、簡単なほうから、

道のりは、移動した距離です。

石を真上に投げて、落ちて(戻って)きたら、最初と最後の位置は同じ(最初と最後しか見ていない人の見た目の移動距離は0)になります。

移動した距離を出すには、絶対値にしないといけません。


x=f(t)としたとき、なぜf(b)-f(a)ではいけないのでしょうか。

距離を出すのなら、いけなくは無いです。上記の式で出す距離と、積分をイコールで結ぶと、速度の式との新たな関係が出せるから積分を使うと考えるといいかも。


読み返してみたら、自分の説明がいまいち、自分でもよく判らない感じになりました。ごめんなさい。

時間があるときに、よく考えて見ます。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

やはりkappagoldさんが言われるように、ちょっとピンときません。

再度の回答を待っています。よろしくお願いします。

2008/09/19 12:08:58
id:yuki333zityo No.2

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/09/19 12:10:13ここでベストアンサー

ポイント100pt

x=f(t)と表されていれば、増分はf(b)-f(a)でOKです。定積分を使っているのは、x=f(t)と表されている項目(速度・加速度)の一つ下の項目(速度と変位・位置)です。〔速度と変位・位置〕では、x=f(t)と表されていません。だから、速度v(t)を積分して、新しい関数x=f(t)を生み出そうとしているわけです。

このように新しく積分して、位置を表す関数f(t)が出来れば、後はf(b)ーf(a)を計算するだけです。テキスト文の、S=∫v(t)dt (範囲はa→b) を計算すると、f(b)ーf(a)と出てくるはずです。massa-willさんの言うとおり、やはりf(b)-f(a)で良いわけです。

さて、道のりですが、ちょっとここは複雑です。まず変位と道のりは何が違うか、ということなのですが、変位はどれだけ移動したか、ということです。

例えばA点、B点、C点、D点とあったとします。各点から次の点までの距離は2mとしましょう。全ての点は2m間隔で離れていると思ってください。A→D点は6mですね。ここで、タケシ君という少年が、A点からD点まで進んだとき、変位はいくらでしょう、と言われたら、間違いなく6mです。AからDの間の距離は6mですから、進んだ距離は6mです。

AからD点まで、常にまっすぐ進めば、「道のり」も6mでOKです。しかし!例えばAからB点まで進んだときに忘れ物に気が付いて、一旦A点に戻ってからD点に向かったとしたときはどうなるでしょう。変位は6mですが、タケシ君が実際に移動した「道のり」は6mではありませんね。AからBに行って、一旦BからAに戻っていますから、実際に移動した道のりは10mです。

では、関数で考えましょう。ある点Pが、数直線上を移動しており、その速度を表す関数が

v= t^2 - 3t + 2

だったとします。tが1から3に変化するとします。このとき、変位と道のりはどうなるでしょうか。

変位は、テキスト文に書いてあるように、f(3)ーf(1)でOKです。vを積分して位置を表す関数f(t)を作り出し、計算すればOKです。

しかし、道のりはどうでしょうか。道のりというのは、「点が実際に動いた距離」ですから、絶対にプラスにならなければなりません。

v= t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2)

ですから、1<t<2のときvはマイナスであり、2<tのときにvはプラスになります。</p>

もし絶対値をつけないで∫v(t)dt(1→3)を計算したらどうなるでしょう。少し見づらくなりますが、(1→3)というのは1から3までの範囲を積分するということです。

∫v(t)dt(1→3)

=∫v(t)dt(1→2) + ∫v(t)dt(2→3)

=f(2) - f(1) + f(3) - f(2)

=f(3) - f(1)

となり、結局は変位が出てきてしまうのです。

しかし、道のりはこれではダメです。tが1から2の間に進んだ道のりも、プラスでなくてはダメなのです。tが1から2のときvはマイナスになりますから、その間に進んだ距離はマイナスで出てきてしまいます。vがマイナスというのは、点が数直線上のマイナス方向に進んでいるという事ですから、距離はマイナスで出てきてしまうのです。

※↑上の解説です。上の文で理解できたら読み飛ばしてください。仮に、tがaからbまで変化したとします。

f(a)=-1、f(b)=ー3であるとき、実際に移動した距離は2ですが、f(b) - f(a) = -2となってしまいますね。このように、vがマイナスだと、実際進んだ距離はマイナスと出てきてしまいます。※

だから絶対値を付けて、距離がマイナスで計算される部分もプラスにしてあげるわけです。

∫|v(t)|dt(1→3)

=∫|v(t)|dt(1→2) + ∫v(t)dt(2→3)

=-∫v(t)dt(1→2) + ∫v(t)dt (2→3)(∵1→2では常にマイナス)

=f(1) - f(2) + f(3) - f(2)

=f(1) + f(3) -2f(2)

となるわけです。

id:massa-will

とても丁寧な回答で、すごくわかりやすいです。ありがとうございます。

2008/09/19 12:32:53
id:kn1967 No.3

kn1967回答回数2915ベストアンサー獲得回数3012008/09/19 12:16:46

ポイント10pt

f(b)-f(a) は

v(t)の値が常に一定(等速運度)の場合にのみ適用できる特殊な事例。


絶対値は

西に10歩でも、東に10歩でもスタート地点から移動した距離としては

どちらも同じ10歩の移動。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

上のほうのことが、ちょっとよくわかりません。

もう少し詳しく教えてもらえますか?

2008/09/19 12:34:57
  • id:kn1967
    f(b)-f(a)とした場合には、時刻tにおける速度v(t)が含まれていないため
    最初から最後まで同じ速度で動いていたとみなすしかありませんよね。
  • id:smoking186
    kn1967さんへ
    >f(b)-f(a) は
    >v(t)の値が常に一定(等速運度)の場合にのみ適用できる特殊な事例。
    は間違ってませんか?
    また, コメントの
    >f(b)-f(a)とした場合には、時刻tにおける速度v(t)が含まれていないため
    >最初から最後まで同じ速度で動いていたとみなすしかありませんよね。
    についても, 変位といった場合には単純に場所の移動しか考えていないのでみなすみなさないは関係ないかと.
  • id:i_kumagoro
    >> kn1967さん
    「xの増分」は f(b) - f(a) であっています。
    f'(a) と (f(b) - f(a)) / (b - a) との関係か何かと勘違いされていませんか?

    もし、「xの増分」と f(b) - f(a) が等しいのが特殊事例だという事でしたら、特殊事例ではない v(t) を具体的にお示しください。
  • id:massa-will
    みなさん
    コメントをありがとうございます。
    kn1967さんの回答については勘違いだったのでしょう。ドンマイということで。

    yuki333zityoさんの回答はすばらしかったです。
    文句なし、イルカ賞です(こないだの分もあわせて?^o^)
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/09/19 18:23:00
    ありがとうございます!!m(__)m

    もう一つ、化学に関する質問をなされているようですね。自分も化学を使っていたので、なんか嬉しいです♪
  • id:massa-will
    そう仰ってもらえて、自分も嬉しいです♪

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