<問題>

高校数学・確率の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005111541
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005111903
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005112053
<質問>
(2)について、以下のように考えては駄目な理由を教えてください。
男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは
12C3通りある。ここで、もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りであるから、
女子が連続しない確率は12C3/15C3。余事象の考えから、求める確立は1-12C3/15C3。
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/10/05 11:45:29
  • 終了:2008/10/05 21:45:52

ベストアンサー

id:joru_bugu No.3

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62008/10/05 18:30:30

ポイント60pt

普通の横一列にならぶ形の問題なら、その考えでOKです。

(1)の解答例の図1を用いて考えてみましょう。

円順列の問題では、例えば女子が1、2、3番の席に座った場合と、2、3、4番の席に座った場合は同じものとみなされます。なので(1)同様、一人を固定しなくてはならないのです。

まず、

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは

12C3通りある。」

というのは正解です。まず男子を一人、1番の席に座ってもらい、固定します。その後、適当に他の男子に座ってもらいます。その間隔はやはり12個なので、その中から3席を選ぶ方法は12C3通りです。

次の「もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りである」

というのがまずいです。同じように1番の席に男子を1人固定して考えます。そうすると、残りの14席から女子の座る3席を選ぶ方法は14C3通りです。この固定するという作業をしなかったため、15C3としてしまったのでしょう。

後は同様の考えで、1-(12C3/14C3)を計算すれば、答えと一致します。

id:massa-will

>横一列にならぶ形の問題なら、その考えでOKです。

ほっとしました。これまでの理解がひっくり返るかと動揺していたところで、助かりました。

大変よくわかりました。ありがとうございます。

2008/10/05 21:30:46

その他の回答(2件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/10/05 12:12:41

ポイント50pt

1)について、同様に考えようとすると


男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から1個選び出す組み合わせは

12C1通りある。ここで、もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りであるから、

3人の女子が連続する確率は12C1/15C3。


ちょっと変なことになってしまいますね。


これは、

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。」の仮定が間違っていて、15席なので男子を先に並べた場合の間隔(開いた席)は、12席ではなく3席しかないのです。

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。」の仮定の場合、間隔も全て席として考えることになってしまうので、

24席あって、男子は必ず間を空けて座って、3人の女子は空いている12席の好きなところに女子が座れて、9席はあけたままにして良い、という条件の問題になってしまいます。


順調に勉強を進めておられるようですね。

頑張ってください。

id:massa-will

本来15席であるから、間隔を12個とカウントするのは誤りと考えれば、そうだとも思います。

ただ、これまで自分で解いてきた問題に同じような考え方で解いてきた問題があるような、

ないような。。。もしかして、いままで間違ってきたのだろうかと不安と混乱があります。

もう少し詳しく回答の説明をしてもらえませんか?よろしければ、お願いします。

また、励ましをいただきまして、ありがとうございます。

2008/10/05 13:12:15
id:juic No.2

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32008/10/05 18:20:29

ポイント50pt

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは

12C3通りある。」

→これは、12個のスキマから3個を選ぶ選び方を数えたものです。

「もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りであるから」

→これは15個のイスから3個を選ぶ選び方を数えたものです。


違うモノを分母と分子にしてはいけません。間違いがわかりやすい例をあげると、

・トランプのスペードの中から1枚選ぶ選び方は13通り

・サイコロで偶数が出る出方は3通り

・よって、偶数がでる確率は3/13

もちろんこれはまちがいです。


もし、12C3を活かすのであれば、分母、すなわち起こりうるすべての選び方も、「スキマ」を数えなければいけません。

問題の条件におけるすべての選び方と対応するスキマの選び方は、「同じスキマを複数回選んでもよい(=女子が隣り合ってもよい)」という条件でのスキマの選び方の総数です。

これは重複組み合わせの考え方です。12個のスキマから重複を許して3個選ぶ選び方は12H3通り、すなわち14C3通りです。

よって求める確率は、1-(12C3/14C3)=36/91

これならば正解です。


重複組み合わせの解説↓

http://yosshy.sansu.org/chofuku.htm

id:massa-will

標本空間の取り方が違うのではないかと自分で悶々と考えたりしていましたが、

トランプとサイコロという極端な例でハッとしました。これだけ全然違うことだったの

だなあと気づきました。ありがとうございます。

2008/10/05 21:38:53
id:joru_bugu No.3

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62008/10/05 18:30:30ここでベストアンサー

ポイント60pt

普通の横一列にならぶ形の問題なら、その考えでOKです。

(1)の解答例の図1を用いて考えてみましょう。

円順列の問題では、例えば女子が1、2、3番の席に座った場合と、2、3、4番の席に座った場合は同じものとみなされます。なので(1)同様、一人を固定しなくてはならないのです。

まず、

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは

12C3通りある。」

というのは正解です。まず男子を一人、1番の席に座ってもらい、固定します。その後、適当に他の男子に座ってもらいます。その間隔はやはり12個なので、その中から3席を選ぶ方法は12C3通りです。

次の「もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りである」

というのがまずいです。同じように1番の席に男子を1人固定して考えます。そうすると、残りの14席から女子の座る3席を選ぶ方法は14C3通りです。この固定するという作業をしなかったため、15C3としてしまったのでしょう。

後は同様の考えで、1-(12C3/14C3)を計算すれば、答えと一致します。

id:massa-will

>横一列にならぶ形の問題なら、その考えでOKです。

ほっとしました。これまでの理解がひっくり返るかと動揺していたところで、助かりました。

大変よくわかりました。ありがとうございます。

2008/10/05 21:30:46
  • id:kappagold
    >本来15席であるから、間隔を12個とカウントするのは誤りと考えれば、そうだとも思います。
    ただ、これまで自分で解いてきた問題に同じような考え方で解いてきた問題があるような、
    ないような。。。もしかして、いままで間違ってきたのだろうかと不安と混乱があります。

    どのような問題で、同じように考えて解けたかが判らないので、適切なコメントで無かったらゴメンナサイ。
    色々な問題があるので、数をこなしていると同じような考え方で解けた問題もあったのではないかと思います。


    今回の場合は、
    15席の場合の順列は、15!
    12席の場合は順列は、12!
    が基本ですから、間違った仮定で席数を減らしてしまうと、間違いの原因になります。

    原則は、与えられた条件で解くということだと考えます。
    考え方を簡略化して解ける問題もありますが、そちらの方が例外だと考えておいた方が間違いが少ないと思います。


    同じように考えてというのは、(1)の場合のことでしょうか、この場合は、男子12席と女子3席をそれぞれの塊として別にして考えられるので、(12!×3!/15!)×15 のように考えても問題ないです。(×15は円卓で回転するのでその分です。)
    しかし、この場合もあくまで席数15で計算していますね・・・。



    男子を先に並べると、その間隔は12個ある。
    この仮定もちょっと進めて、
    女子が1人入った段階で、間隔が13個になった、しかし13個のうち女子の両隣の2つは選べない。2人目の女子が入った段階で、間隔が14個になった、しかし14個のうち女子の両隣の4つは選べない。という条件を付け加えて考えていけば、解けたのではないかと思います。



    順列・確率の問題の場合など、色々な解き方ができるものがあります。色々な考え方で解けるものを知っていると、たまにごっちゃになってしまうことがありますので、そのような時は原則に立ち戻って回答するのがいいと思います。


  • id:massa-will
    kappagoldさん
    皆さんからの回答とあわせて読むうちに、ようやく全体的な理解ができてきました。
    ありがとうございます。

    PS「考え方を簡略化して解」くときは、間違っていると疑ってみないといけませんね。
    今後に役立てます。

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