<問題>

高校数学・確率の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005112252
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005112859
<質問>
解答例にある考え方もわかるような気がします。しかし、どうして
 本当のことを言っている確率=キスをした確率 すなわち キスをした確率=(3/5)^3
とシンプルに考えてはいけないのかがわかりません。わかりやすく教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/10/05 12:00:11
  • 終了:2008/10/06 11:48:10

回答(4件)

id:araheu No.1

araheu回答回数28ベストアンサー獲得回数22008/10/05 12:28:22

ポイント30pt

解答例にもありますが、3人がそろって「キスをした」と証言したとしても、その場合には「3人ともそろって真実を言っている」か、あるいは「3人とも嘘を言っている」の2つの場合があります。この2つの場合しかないので、2つの確率を足せば1になるはずですが、massa-willさんがおっしゃるように「3人が本当のことを言っていて実際にキスをした確率」を(3/5)^3=0.216としてしまうと、同じ考え方で「3人とも嘘を言っている確率」は(2/5)^3=0.064で両者の合計が1にならずおかしなことになります。

ここで「本当のことを言う確率60%」とは「本当にキスをしていた時にそれを見ていたこの生徒がキスをしたと証言する確率、及び、キスしていなかった時にキスしていないと証言する確率が60%である」ということであり、「キスをしたと証言した時に実際にキスをしていた<条件付き確率>」とは異なる、というのが(3/5)^3としてはならない理由です。

id:kappagold No.2

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/10/05 12:31:40

ポイント300pt

>本当のことを言っている確率=キスをした確率 すなわち キスをした確率=(3/5)^3とシンプルに考えてはいけないのかがわかりません。

この考え方は、一部合っています。



ちょっと違うのは、(3/5)^3は、3人が本当のことを言っている確率であって、キスをした確率にはならないことです。

3人が本当のことを言っている確率の(3/5)^3というのは、キスした場合に、3人が本当のことをいう、1人がうそをいう・・・・などの中での、3人が本当のことを言っている確率になります。



massa-willさんの考え方を使う場合は、


キスはしたかしなかったかの、どちらかしかないので両方の確率をあわせると1になります。

既に3人の証言は揃っているので、

キスをした場合、3人が本当のことを言っている確率(3/5)^3 

キスをしなかった場合、3人がうそを言っている確率(2/5)^3 

従って、

キスをした確率は、

(3人が本当のことを言っている確率)/(3人が本当のことを言っている確率+3人がうそを言っている確率)

(3/5)^3 /{(3/5)^3 +(2/5)^3 }=27/27+8

となります。

id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4393ベストアンサー獲得回数4022008/10/05 13:04:31

ポイント100pt

 キスした確率が60%ではなく、本当のことを言う確率が60%だからです。

 本当にキスして、「キスした」と言った(本当のことを言った3/5)場合と

 キスはしなかったのに、「キスした」と言った(うそを言った2/5)場合とに場合分けをしないといけません。

 たぶん、問題文には、証言なしでのキスをした確率としなかった確率は同じだというだだし文が抜けていると思います。

 問題は条件付き確率の問題で解答の左下の分数式は詳しく書けば次式のようにると思います。

{(1/2)(3/5)^3}/{(1/2)(3/5)^3+(1/2)(2/5)^3}

id:Baku7770 No.4

Baku7770回答回数2832ベストアンサー獲得回数1812008/10/05 16:16:44

ポイント20pt

 rsc96074さんが回答しているとおり、キスをした確率が60%だからではなく本当のことを言う確率が60%だからという内容でいいのですが、問題文で抜けているのは、二人の公園での行動を3人が知っているという前提条件です。

 つまり、3人の内1人でもキスしたかどうかを知らないのに「キスをした」と主張していないということです。

 事後確率の内容を含んだいい問題だと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%8...

  • id:kappagold
    まだ質問が閉じていないので、解決していないと思いまして、補足です。

    (3/5)^3
    は、キスをしたという事実があって、3人がそれを見て、3人が本当のこと(キスをした)を言う確率です。

    3人同じこと(キスをした)を言った場合に、それが本当である確立を求めるので、(3/5)^3
    にはなりません。


    実際に見ていて確率1/2で本当のことを言う=見ていなくて適当にいう
    これは判りますよね。

    この場合、100人が回答しても、全く本当のことはわかりません。
    何人が回答しようが、キスしていた確率は1/2のままです。
    その際に、100人が、キスしていたと回答していても、たまたま(1/2)^100の偶然が起きただけで、キスしていた確率は1/2です。
  • id:totsuan
    先の回答者の方々が丁寧な回答をされていらっしゃるので、その辺を借りまして、自身の気付きを書いておきます。
    まず、この問題を解くに当たって(※私も含めて)混乱するのが、

    1.この問題における確率の母集団は何なのか?
    2.(3/5)^3が表す確率は何を表しているのか? だと思います。
    3.そもそもその男女は「キスをした」のか?

    そこで、「今回の確率を考えるに至った、最初のできごとは何だったのか?」を考えると、「ある特定の3人(=各々が真実を語る確率が60%)が同時に同じ内容を発言した」という事実です。これは絶対に揺るがないので、この問題では最終的にこの確率が絶対に1(=確率を考える上での母集団(※1.))にならないとおかしいということになります。

    しかし、この事実すらあらゆる事象における一つの可能性とみなして一番”緩やかな事実”を考えてみますと、「ある特定の3人(=各々が真実を語る確率が60%)がある発言をした」という事実が最も大きなくくりになります。この視点からの考えになると、3人とも真実を語るであろう確率(※2.)は確かに(3/5)^3になるかと思います。

    しかし、この問題では「ある特定の3人(=各々が真実を語る確率が60%)が同時に同じ内容を発言した」という事実までは確定していますので、後はこの同じ発言内容が「真実」か「虚偽」かというそれぞれの確率を調べる必要があります。
    ・3人の発言内容が「真実」である確率=(3/5)^3
    ・3人の発言内容が「虚偽」である確率=(2/5)^3

    ある男女が公園で「キスをした」/「キスをしていない」という事実は現時点では確定していないので、それぞれの確率は1/2と判断(※3.)し、場合分けをして考えなくてはなりません(※ただし、結局はある男女が公園で「キスをした」あるいは「キスをしていない」という確率の和が1となるので計算上は無視できます)。その上で、それぞれの事象において「3人の発言内容が「真実」である確率」を求めると、

               3人の発言内容が「真実」である確率
    P= ------------------------------------
      (3人の発言内容が「真実」である確率+3人の発言内容が「虚偽」である確率)

    となり、質問者が添付された解答内容と同じになるのだと考えました。
    確かに他の回答者の方々が指摘していらっしゃるとおり、「ある男女が公園でキスをした」ことが真実であるとはどこにも書いていないので、その辺を取り間違えると母集団がわからずに混乱してしまうのだと思います。事実、私自身がそう思いましたし。

    御粗末さまでした。
  • id:massa-will
    気遣ってくださり、本当にありがとうございます。

    どうしても
     『3人が本当のことを言っているならば、2人はキスをしたことになる』
    という考えに引き戻されてしまうのです。
    また、同じことになるのかもしれませんが、なぜ、3人が本当のことを言っている確率は
    すでにわかっているのに改めて上回答にある;

    (3人が本当のことを言っている確率)/(3人が本当のことを言っている確率
    +3人がうそを言っている確率)

    という計算をするのかがわかりません。

  • id:massa-will
    上のコメントはkappagoldさんに宛てたものでした。考えながら書いていたもので、すみません。
  • id:rsc96074
     問題は、「条件つき確率」の問題の特別の場合の「原因の確率」の問題です。チャート式の数学Bあたりに似たような問題が多分あると思います。そちらの類題の指針(解説)も参考にしてみてください。
     証言がなかった場合のキスをした確率は1/2で、その問題で求めているのは、証言があった上でのキスをした確率になっています。
  • id:kappagold
    うまく説明できるかどうか自信はありませんが、またコメントしてみます。


    この問題は、公園にいなかった人が、3人の証言を元に、事実を見極めようとしているという状況です。

    公園にいなかったので、キスをしたのか、キスをしなかったのかは、判りません。
    しかし、そのどちらかには違いありません。
    それを、3人の証言で推理しなければなりません。
    3人は全員、キスをしていたと証言しています。

    この場合、キスの事実があれば、3人は本当のことを言っていたことになります。
    キスの事実が無ければ、3人は嘘をついていたことになります。

    3人が揃って本当のことをいった確率は、(3/5)^3
    3人が揃ってうそを言った確率(2/5)^3 

    これらの情報から、事実の有無の確率を求めようとするので、
    事実あり⇒3人が揃って本当のことをいった (3/5)^3
    事実無し⇒3人が揃ってうそを言った (2/5)^3

    (事実あり):(事実無し)=(3/5)^3:(2/5)^3=27:8=27/35:8/35

    こんな感じでどうでしょうか。
  • id:massa-will
    kappagoldさん、rsc96074さん
    何度もありがとうございます。
    条件つき確率の簡単な問題をやってみたところ、自分でも不思議なのですが、
    上の問題への抵抗感もなくなりました。条件つき確率の問題の扱い方がわかって
    いなかったようです。テキストのまとめを読んで、わかった気になっていたことが
    怖いです。同じようにrsc96074さんの『チャート式』もやってみます。
    また、kappagoldさんには申し訳ないくらいに根気良く教えていただきました。
    重ねて、ありがとうございます。

    totsuanさん
    回答を詳しく解説しなおしてもらい、読解の大きな助けとなりました。
    ありがとうございます。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません