この問題に答えてください。

座標平面上に点P(5,10) 円C:x^2+y^2=4 直線L:x/3+y/4=1を考える
(1)点Pを通り傾きがmの直線の方程式はy=mx-□m+□であり、点Pから円Cに引いた二つの接線の方程式はy=□x+□、y=□x-□である
(2)円Cの円周上の点Qから直線Lに垂線QRをおろす。点Qが円Cの円周上を動くとき、線分QRの長さの最大値は□、最小値は□である。

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  • 登録:2008/10/08 22:12:33
  • 終了:2008/10/15 22:15:02

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id:joru_bugu No.1

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62008/10/09 00:18:07

ポイント35pt

(1)

「点Pを通り、傾きがmの直線」:

まず、傾きがmということから、bを切片とすると、この直線の式は

y=mx+b・・・①

とおけます。点P(5,10)を通る事から、①式にx=5、y=10を代入し、bについて解いてみると、b=10-5mとなります。よって、求める直線の式は

y=mx - 5m + 10

となります。

「点Pから円Cに引いた二つの接線の方程式」:

まず、求める接線の方程式を、y=mx+nとおきます。この直線は点Pを通るということなので、x=5、y=10を代入すると、

n=10-5m・・・②

となります。が、ここは計算しやすいようにあえてy=mx+nのまま計算します。

ここで、接線と円の交点を求めるための式を考えます。x^2+y^2=4にy=mx+nを代入します。

整理すると

(m^2 + 1)x^2 + 2mnx + n^2 -4 = 0 ・・・③

となります。ここで、今考えているのは、接線と円の交点です。一本の接線と、円の交わる点の数は、当然1つです。ということは、③式が二つの解を持ってしまった場合、接線と円が二つの交点を持つ事になってしまいますから、矛盾します。かといって一つも解を持たないとなると、接線と円が交わらないという事になりますから、これもまた矛盾します。つまり、③はただ1つの解、つまり重解を持つということです。よって、判別式をDとすると、

D=(mn)^2 - (m^2 + 1)(n^2 - 4)

 =4m^2 - n^2 + 4 =0

ということになります。ここで、②式より、n=10-5mを代入して整理すると、

21m^2 - 100m + 96 = 0

(7m - 24)(3m -4) = 0

m= 24/7 ,4/3

よって、求める2直線は、

y=(24/7)x ‐ 50/7

y=(4/3) x + 10/3 

(2)

まず、点Qの座標を(s,t)とします。点Qは円上の点なので、

s^2 + t^2 = 4

という関係式が成り立ちます。

ここで、点と直線の距離の関係から、線分QRの長さをdとすると、

(Lの式:x/3+y/4-1=0 より)

d=|〔(1/3)s + (1/4)t -1 〕|/√((1/3)^2 + (1/4)^2)

=(12/5)×|〔(1/3)s + (1/4)t -1 〕|

となります。(||は絶対値の記号です。)

s^2 + t^2 = 4

より、

s=2sinθ とおくと、

t=2cosθ となります。

これをd=(12/5)×|〔(1/3)s + (1/4)t -1 〕|の式に代入すると、

d=(12/5)×|〔(2/3)sinθ + (1/2)cosθ -1 〕|

 =(12/5)×|〔√((2/3)^2 + (1/2)^2)sin(θ + α) ー 1〕|(∵三角関数の合成より)

(ただし、sinα=3/5、cosα=4/5とします。)


d=(12/5)×|〔(5/6)sin(θ + α) - 1〕|


ここで、-1≦sin(θ + α)≦1ですから、

dの最大値は、sin(θ + α)=ー1のとき、

d=(12/5)×(11/6)=22/5

dの最小値は、sin(θ + α)=1のとき、

d=(12/5)×(1/6)=2/5

となります。よって、最大値:22/5 最小値:2/5

計算ミスしてたらごめんなさいm(__)m

その他の回答(1件)

id:joru_bugu No.1

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62008/10/09 00:18:07ここでベストアンサー

ポイント35pt

(1)

「点Pを通り、傾きがmの直線」:

まず、傾きがmということから、bを切片とすると、この直線の式は

y=mx+b・・・①

とおけます。点P(5,10)を通る事から、①式にx=5、y=10を代入し、bについて解いてみると、b=10-5mとなります。よって、求める直線の式は

y=mx - 5m + 10

となります。

「点Pから円Cに引いた二つの接線の方程式」:

まず、求める接線の方程式を、y=mx+nとおきます。この直線は点Pを通るということなので、x=5、y=10を代入すると、

n=10-5m・・・②

となります。が、ここは計算しやすいようにあえてy=mx+nのまま計算します。

ここで、接線と円の交点を求めるための式を考えます。x^2+y^2=4にy=mx+nを代入します。

整理すると

(m^2 + 1)x^2 + 2mnx + n^2 -4 = 0 ・・・③

となります。ここで、今考えているのは、接線と円の交点です。一本の接線と、円の交わる点の数は、当然1つです。ということは、③式が二つの解を持ってしまった場合、接線と円が二つの交点を持つ事になってしまいますから、矛盾します。かといって一つも解を持たないとなると、接線と円が交わらないという事になりますから、これもまた矛盾します。つまり、③はただ1つの解、つまり重解を持つということです。よって、判別式をDとすると、

D=(mn)^2 - (m^2 + 1)(n^2 - 4)

 =4m^2 - n^2 + 4 =0

ということになります。ここで、②式より、n=10-5mを代入して整理すると、

21m^2 - 100m + 96 = 0

(7m - 24)(3m -4) = 0

m= 24/7 ,4/3

よって、求める2直線は、

y=(24/7)x ‐ 50/7

y=(4/3) x + 10/3 

(2)

まず、点Qの座標を(s,t)とします。点Qは円上の点なので、

s^2 + t^2 = 4

という関係式が成り立ちます。

ここで、点と直線の距離の関係から、線分QRの長さをdとすると、

(Lの式:x/3+y/4-1=0 より)

d=|〔(1/3)s + (1/4)t -1 〕|/√((1/3)^2 + (1/4)^2)

=(12/5)×|〔(1/3)s + (1/4)t -1 〕|

となります。(||は絶対値の記号です。)

s^2 + t^2 = 4

より、

s=2sinθ とおくと、

t=2cosθ となります。

これをd=(12/5)×|〔(1/3)s + (1/4)t -1 〕|の式に代入すると、

d=(12/5)×|〔(2/3)sinθ + (1/2)cosθ -1 〕|

 =(12/5)×|〔√((2/3)^2 + (1/2)^2)sin(θ + α) ー 1〕|(∵三角関数の合成より)

(ただし、sinα=3/5、cosα=4/5とします。)


d=(12/5)×|〔(5/6)sin(θ + α) - 1〕|


ここで、-1≦sin(θ + α)≦1ですから、

dの最大値は、sin(θ + α)=ー1のとき、

d=(12/5)×(11/6)=22/5

dの最小値は、sin(θ + α)=1のとき、

d=(12/5)×(1/6)=2/5

となります。よって、最大値:22/5 最小値:2/5

計算ミスしてたらごめんなさいm(__)m

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982008/10/09 06:33:53

ポイント35pt

(1)点Pを通る傾きmの直線は、

 y=m(x-5)+10

∴y=mx-5m+10・・・①

 この直線を一般形に直すと、

 mx-y-5m+10=0

 これが円Cと接するから、点と直線の距離の公式を使って、原点からの距離が2であればよい。

 |m(0)-(0)-5m+10|/√(m^2+1)=2

∴|10-5m|^2=4(m^2+1) ←両辺を2乗した

 これをmについて整理すると、

 21m^2-100m+96=0

∴(3m-4)(7m-24)=0∴m=4/3, 24/7

 よって求める接線の方程式は、mを①に代入して、

 y=(4/3)x+10/3

 y=(24/7)x-50/7

(2)図を描いて、直線Lの垂直QRをスライドさせると、垂線QRが原点を通る時、最大値と最小値を与えることが分かる。

よって、直線Lと原点の距離を求めて、半径2を足したものが最大値を与え、半径2を引いたものが最小値を与える。

 直線Lの一般形は、4x+3y-12=0

直線と距離の公式から、原点と直線Lの距離は、

 |4(0)+3(0)-12|/√(3^2+4^2)=12/5

よって、求める最大値は、12/5+2=22/5

 また、求める最小値は、12/5-2=2/5

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