対角線論法が駄目だと思います.無限は無い,あっても一つだと思います.

1.二進法で表した,自然数と区間[0,1)の実数とを考えます.
2.二進法で表した整数を区間[0,1)の有理数に1対1に対応させます.たとえば110101を0.101011といった具合にします.(対称になっているのです)
3.n桁以下の自然数(0も含みます)について,2^n個の自然数があり,それらに2^n個の区間[0,1)の有理数が1対1対応します.
4.log2_n(nの底が2の対数)はnの極限をとると当然無限です.(log2_nが任意の自然数より大きくできるということです.n=2^(N+1)とおけばlog2_nはNより大きいです)
5.以上よりもれなく実数と対応するといえます.
自然数濃度と実数濃度は同じではないでしょうか.

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 登録:2008/10/25 22:30:51
  • 終了:2008/10/25 23:33:51

回答(4件)

id:kelly1414213 No.1

M.Mouri回答回数13ベストアンサー獲得回数22008/10/25 22:54:37

ポイント79pt

まず、0.1は0.10000.....の省略形とします。ことのき、整数を小さいもの順に並べ、対応する実数を書いてみると、

1:0.100000....

10:0.010000....

11:0.110000....

100:0.001000....

101:0.101000....

という風に並びます。さて、このとき次の実数rを考えます。少数第n桁目は上の表の第n番目に現れる実数の少数第n桁目をビット反転させたものである。このとき、r=0.00111.....になります。これは[0,1)の実数ですから、この表に出現するはずです。では何番目に出現するでしょうか?いま、n番目に出現したとすると、小数第n桁目はこの表の小数第n桁目をビット反転させたものですから、値がことなることになり、これは矛盾します。つまり、こうやって作った実数は[0,1)に入っているにもかかわれず、上の表には出現しないのです。普通に対角線論法を使えば、やっぱり自然数と実数は一対一対応が取れないことが証明できます。

id:U-tan

3と4を考慮してください.無限桁一致するとかんがえています.

「追記」n番目できってしまうのが対角線論法の欠陥です.自然数は可算とされますが,n番目でなく2^n番目まで考えてください.桁数が違う,ここが対角線論法の間違いの原因だと考えます.kelly1414213さんの提示した例では,自然数はn個なのに実数はn桁考えていることから対角線論法があたかも正しい議論のように感じられるのです.

2008/10/25 23:29:24
id:yamadakouzi No.2

yamadakouzi回答回数296ベストアンサー獲得回数62008/10/25 23:11:14

ポイント1pt

[自然数濃度と実数濃度は同じではない]です。

自然数は正の整数です。自然数と整数は濃度が同じです、有理数(整数を含む少数、分数)は整数より濃度は高いです。実数は有理数と無理数を含みますのでより濃度は高いです。

整数は0,1,2・・・ですが1.5や2/3の様な有理数は含みません。

有理数は2の平方根や円周率などの無理数は含みません。

整数、有理数、無理数、複素数(多元数)の関係と加減乗除などをお調べ下さい。

id:U-tan

・・・.有理数濃度と整数濃度は同じというのは有名です.

2008/10/25 23:32:52
id:yamadakouzi No.3

yamadakouzi回答回数296ベストアンサー獲得回数62008/10/25 23:17:38

「n桁以下の自然数(0も含みます)」・・・0は自然数では有りません。

id:zzz_1980 No.4

zzz_1980回答回数492ベストアンサー獲得回数642008/10/25 23:32:11

ポイント10pt

1 0.1

2 0.01

3 0.11

4 0.001

5 0.101

6 0.011

実数 0.12 は整数の何に対応しますか?

  • id:U-tan
    zzz_1980さんへ 0.12とは?1.00ですか?二進法表記での議論です.
  • id:smoking186
    任意の自然数xについて, xは有限長です.
    無限桁を認める (4でいうところの極限に飛ばす操作) と完備化していることになり, [0,1]に一致します.

    (にしても, 2, 3, 4の解答は酷いなぁ.)
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/10/26 00:24:36
    [有理数濃度と整数濃度は同じというのは有名です.]そうです。私の間違いです。
    数直線の点も平面、立体の点も同じ『濃度』でした。
    数直線状の整数点を0,1,2・・・nとし、平面上の整数格子点を(0.0)、(0,1)、(1,0)、(0,2)、(1,1)、(2,1)・・・(n,n)と番号付けしていけば1:1対応できますから(立体も同じ)
    有理数とは分数で表せる数、つまりX/Yですから平面格子点のX,Yに対応できる・・・から[有理数濃度と整数濃度は同じ]というのは証明できます。回答の「有理数(整数を含む少数、分数)は整数より濃度は高いです。」と言う部分は早とちりです。

  • id:smoking186
    ところで, 質問者のU-tanさんは, これ以外の対角線論法を用いた証明をどうお考えですか.
    私の知る例では, チューリング機械の停止問題が計算不可能であることを証明するときに対角線論法を用いています.
    たとえばWikipediaの停止性問題を見てください.
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%9C%E6%AD%A2%E6%80%A7%E5%95%8F%E9%A1%8C

    この対角線論法は納得できるんでしょうか?
  • id:U-tan
    対角線論法を表す不等式は,n<2^nだと考えています.例は多分合致していると思います(自己言及で有限時間で終了するとすると矛盾).nも2^nも(ないしlog2_nもnも)発散するので(記号が同じだと発散のはやいおそいはありますが別の記号をつかえばN=2^n+1>2^nとなります)(ある自然数の桁が二進法表記での超越数の桁より小さいというのはそう自然数を定義するならば別ですが,根拠がない)(実数はコーシーの方法で収束するが自然数はというのが先入観だと思っています),同じで,無限をおくとしたらアレフ_0=アレフ_nだと思っています(自然数濃度と連続体濃度の一致).基本的にσ-N論法以外の無限の扱いは不要だと思っています(実無限の不要).
  • id:smoking186
    チューリング機械の方は納得しているんですね。ということは、不完全性定理の証明で使うのも大丈夫と。

    >ある自然数の桁が二進法表記での超越数の桁より小さいというのはそう自然数を定義するならば別ですが,
    >根拠がない
    10/25分のコメントで書きましたけどもう一回。
    自然数の集合の要素数は無限です。しかし、適当に自然数 x を持ってくれば x の桁数は有限です。
    ここで話がよれてますねぇ。

    あとは、下のトラックバックをしている記事は三本とも読まれましたでしょうか?
    非常に参考になると思いますので、是非お読みください。
  • id:U-tan
    コメントありがとうございます.
    僕の自然数の定義(値が確定しない無限級数Σ(a_n)2^nも自然数(a_n=(0でなければ1,1でなければ0))も自然数だと思っていた)が「自然数は有限長」と違います.


    f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+・・・+x^31+・・・=Σ(x^n)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^16)・・・=Π(1+x^(2^n))
    複素関数の無限和ないし無限積でf(x)=0の根が,|x|=1,x≠1で綺麗でした.
  • id:quintia
    普通の定義とは違う意味で自然数を使う時は、そう断っておかないと話がかみ合わないですよ。
    それと自然数の定義を変えるときに、「実数と一対一対応できるように」完備化しているわけで、無限濃度が一致して当たり前。議論の余地がないですね。

    ところで無限桁に完備化すると、
    x + 1 = 0
    y × 3 = 1 (3は数の概念としての3。計算するときの表記は当然 11 を使ってください)
    を満たす数がその集合に含まれることに気がついていますか? (x = ……1111111 y = ……1010101011)

    まぁ、数の定義も演算の定義も厳密にしていない状態で話しをするのも変なのですが。
    無限桁に完備化すると「普通の自然数と比べて、どんな違う性質が出てくるか?」とか「演算はどう定義されるか?」とかに考えを巡らせてみると楽しいと思いますよ。
  • id:kimurakoiti
    prima materia氏の批判は当たらない。可能無限無理数は可能無限小数展開公式であり、それを含む計算結果も可能無限小数展開公式である。

    よって、可能無限概念に矛盾は無い。

    よって、[0,1]内の二進小数の数字列を逆向けにした二進自然数も、可能無限的に生成されていく、と考えれば、可能無限の「濃度」の自然数と一対一対応が付けられる。

    なお、次の事どもを参照されたい。

    まず、数列
    0行目 0
    1行目 →0.1
    2行目 →0.01→0.11
    3行目 →0.001→0.011→0.101→0.111
    4行目 →0.0001→0.0011→0.0101→0.0111→0.1001→
         0.1011→0.1101→0.1111
    ・・・ →
    ・・・
    はその一対一対応を示す。

    また、この数列内の数を順に縦に並べた数表内の数の対角線上の数字プラス1の数字に依って生成されていく数列は順に、0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, 
    0.11111,・・・,0.11111111・・・となり、全てその数表内に存在する。よってカントールの論法は間違っている。

    さらに、上の数列のn行目に現れる小数の個数は2^n個であり、nと2^nとが一対一対応している。この対応はnが可能無限濃度アレフ0であるときも成り立つので、アレフ0=2^アレフ0である。或いは、上の数列が0行目からではなく1行目から始まっているとしても、(アレフ0)+1=アレフ0をカントール自信が証明しているので、行数、(アレフ0)+1、と「個数」、(アレフ0)+1とが一対一対応していると考えてもよい。
  • id:kimurakoiti
    訂正:
    例の数列が1行目から始まっているとすると、可能無限アレフ0行目の数の「個数」は
    (アレフ0)-1であるが、普通の解析学の公式、∞-1=∞を使って考えれば良いと思われる。
  • id:kimurakoiti
    再訂正:
    「さらに」以下と「訂正」を削除します。

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  • 回答書いていたけど閉め切られてしまった。 対角線論法が駄目だと思います.無限は無い,あっても一つだと思います. 1.二進法で表した,自然数と区間[0,1)の実数とを考えます. 2.二
  • prima materia - diary - 実数どころか…… prima materia - diary 2008-10-26 10:37:45
    続きでも書きましょうか。 対角線論法のことは忘れて、何をしようとしているかを謙虚に見直すことでどんな間違いをしでかしているかを考えてみましょう。
  • Log of ROYGB - 無限は無い 2008-10-26 19:36:44
    無限は無い 人力検索はてなの質問から。 対角線論法が駄目だと思います.無限は無い,あっても一つだと思います. 1.二進法で表した,自然数と区間[0,1)の実数とを考えます. 2.二進法で
  • prima materia - laboratory 2008-11-10 22:23:33
    可能無限しか認めないという人がいたら尋ねてみたいことがあったんです。 や、 などは可能無限ではどう解釈するのでしょう? 前者はまぁいいとしてもですね、 後者は「πがどんな数かが
「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

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