<問題・解答例>

数と式の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081026231358
<質問>
わからないところが2つあります。『別解』の青字ヒントと『アドバイス』について、
メモの通りです。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/10/27 10:13:12
  • 終了:2008/10/27 15:51:46

回答(2件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982008/10/27 12:01:04

ポイント35pt

・この道理がよくわからない。

 (x+ay+α)(x+by+β)=x^2+bxy+βx+axy+aby^2+aβy+αx+bαy+αβ

={x^2+(a+b)xy+aby^2}+(α+β)x+(aβ+bα)y+αβ

と展開されますから、xとyについての2次の同次式の部分(x^2、xy、y^2)は、定数項(α、β)の影響を受けないから、2次の同次式の部分を見れば、因数分解された結果の前半部分が分かります。

・どうしてはずれなければならない?

 はずれなければ、ルートの部分が残ってしまうからです。ルートをはずすためには、ルートの中身が、完全平方になっていればいいわけです。もしはずれないと、

 x=(-b±√D)/2aのとき、ax^2+bx+c=a{x-(-b+√D)/2a}{x-(-b-√D)/2a}

のようにルートが残ってしまいます。

id:massa-will

ありがとうございます。

2008/10/27 15:50:20
id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/10/27 12:36:59

ポイント45pt

1.別解の部分について

一次式の積で表せるということは、与式は

(ax+by+c)(dx+ey+f)

= {(ax+by)+c}{(dx+ey)+f}

= (ax+by)(dx+ey)+(ax+by)f+(dx+ey)c+cf

と表せることになります。

ここで第一項(ax+by)(dx+ey)はxとyの2次式で、なおかつこれを展開しても1次式や定数項はでてきません。

また第一項以外の他の項には2次の要素はありません。

つまり

(ax+by)(dx+ey)=(x+2y)(x-y)ということがわかります。

ax+by=x+2y かつ dx+ey=x-y

もしくは

ax+by=x-y かつ dx+ey=x+2y

ですが、どちらにしても

(x+2y+α)(x-y+β)

と表せることになります。


2.アドバイスの部分について

ルートが外れない、つまりルートの中身が完全平方の形でないと

x^2-2y^2+xy+kx+2y+4=(x-\frac{-(y+k)+\sqrt{9y^2+\ldots}}{2})(x-\frac{-(y+k)-\sqrt{9y^2+\ldots}}{2})

となり、xとyについての一次式の積ではなくなってしまうからです。

ルートの中身が定数ならば良いのですが、この方針では必ずルートの中身がyの式になってしまいます。

ここでルートが外れないとyの無理式になってしまい、xとyについての一次式にはなりません。

ですからルートが外れることが必要なのです。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

念のため、確認をさせてください。

>yの無理式になってしまい

例えば、√(y^2+4)は厳密に平方完成できないから、一次式ではない;

平方完成できない限り、一次式ではないということですか?

2008/10/27 14:04:57
  • id:kappagold
    一次式とは、あくまでもxとかyとかが。そのまま=1乗のときです。

    √(y^2+4)は、ルート内が2次式の式ですので、一次式ではないです。
    関数の場合は、無理関数になります。
    http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/var_root/var_root.htm
  • id:massa-will
    ありがとうございます。それでわかりました。
    リンクのグラフで視覚的にも納得です。

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