<問題・解答例>

二次関数の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028013700
<質問>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028013826
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/10/28 10:11:19
  • 終了:2008/10/28 19:36:43

ベストアンサー

id:yo-kun No.3

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/10/28 11:31:02

ポイント75pt

方針は悪くないと思いますが条件が足りません。


i)の部分だけで言えば

判別式>0という条件はx^2+x-k-1=0という2次方程式が2解を持つ条件にしかなっていません。

x^2-1≧0と仮定したのですから、さらにその上その2解がx^2-1≧0を満たす必要があります。

2解は

x=\frac{-1\pm\sqrt{4k+5}}{2}

ですから、この2解がx^2-1≧0を満たすには1≦kとなることが必要です。

(計算して確かめてみて下さい。x^2-1=k-xを使うといいと思います。)

するとi)の条件は(判別式)>0の条件(-5/4<k)と合わせて1≦kとなることが必要であることがわかります。</p>

ii)の場合も-x^2+x-k+1=0の判別式が異なる2解を持ち、(判別式>0からk<5/4)

なおかつその2解がx^2-1<0でなければなりません。( 1 < kとなります。これも計算してみて下さい。)

そうするとii)からは判別式>0の条件(k<5/4)と合わせて1<k<5/4となることがわかります。</p>

つまりi)かつii)を満たすkの条件は

1 < k < 5/4

となることがわかります。

id:massa-will

ありがとうございます。教えていただいたように計算してみました。

意外に難しく、i)の1≦kを出すところまでの計算をリンクしますので、

合っているか、見てもらえますでしょうか?

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028160922

たびたびになりますが、よろしくお願いします。

2008/10/28 16:15:13

その他の回答(5件)

id:krese No.1

krese回答回数20ベストアンサー獲得回数42008/10/28 10:21:49

ポイント10pt

細かい計算はしていないのですが、

(1)と(2)の解が重なる可能性を考慮していないのではないでしょうか。


判別式D1、D2により、それぞれ2つの実数解をもつことは保証されますが、

それが「4個の異なる実数解」になるとは限らない、と思われます。


実際に答えに含まれないkの値(k=-1とか)をあてはめて

考えてみると、わかりやすいかと思います。

id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/10/28 10:40:57

ポイント40pt

お久しぶりです^^

さて、



D1>0かつD2>0を満たすkの範囲が正解となる・・・(※)



とお考えのようですが、正確には違います。

同違うのかをわかってもらうために、(※)を言い換えて、

それが問題文と合わないことを見てゆきましょう。



あなたが(※)で書きたいことを正確に書くと、

「【(x≦-1またはx≧1)かつD1>0】かつ【-1≦x≦1かつD2>0】を満たすkの範囲」


となります。これをもうちょっとわかりやすく書くと


・x≦-1またはx≧1の範囲で|x^2-1|+x-k=0が二つの解を持つ時のkの範囲

・かつ-1≦x≦1の範囲で|x^2-1|+x-k=0が二つの解を持つ時のkの範囲

ということですね。さてこの時、

あなたの出した、D1>0かつ、D2>0で求まるk範囲と、私が書いた↑で求めるkの範囲は同じでしょうか。実は違います。

D1>0やD2>0でkの範囲を求めると、正答に書かれている「点線の部分」も「含めた」kの範囲となってしまうからです。

それでは、どうやって

【(x≦-1またはx≧1)かつD1>0】かつ【-1≦x≦1かつD2>0】を満たすkの範囲

を計算すべきでしょうか。

実はこの方法で計算するのは難しいです^^;

kの範囲の中から、「xが-1≦x≦1」に該当するときの範囲は・・

なんて考えられませんよね?

自分には無理ですし、実際の試験会場でそんな事考えるのは時間の無駄です。

だから、この手の問題を考える時には、正答で示されているようにまずグラフを描いてから、考える用にするわけです。

id:massa-will

お久しぶりです。回答をありがとうございます。

今回の問題は、だいぶ以前に教えていただいたテキストからのもので、

あの時のアドバイスの意味もだんだんと実感でわかるようになってきました。

ありがとうございます。

>「点線の部分」も「含めた」kの範囲となってしまう

場合分けに用いた条件を忘れてしまうとそうなるということですね?

2008/10/28 16:26:46
id:yo-kun No.3

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/10/28 11:31:02ここでベストアンサー

ポイント75pt

方針は悪くないと思いますが条件が足りません。


i)の部分だけで言えば

判別式>0という条件はx^2+x-k-1=0という2次方程式が2解を持つ条件にしかなっていません。

x^2-1≧0と仮定したのですから、さらにその上その2解がx^2-1≧0を満たす必要があります。

2解は

x=\frac{-1\pm\sqrt{4k+5}}{2}

ですから、この2解がx^2-1≧0を満たすには1≦kとなることが必要です。

(計算して確かめてみて下さい。x^2-1=k-xを使うといいと思います。)

するとi)の条件は(判別式)>0の条件(-5/4<k)と合わせて1≦kとなることが必要であることがわかります。</p>

ii)の場合も-x^2+x-k+1=0の判別式が異なる2解を持ち、(判別式>0からk<5/4)

なおかつその2解がx^2-1<0でなければなりません。( 1 < kとなります。これも計算してみて下さい。)

そうするとii)からは判別式>0の条件(k<5/4)と合わせて1<k<5/4となることがわかります。</p>

つまりi)かつii)を満たすkの条件は

1 < k < 5/4

となることがわかります。

id:massa-will

ありがとうございます。教えていただいたように計算してみました。

意外に難しく、i)の1≦kを出すところまでの計算をリンクしますので、

合っているか、見てもらえますでしょうか?

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028160922

たびたびになりますが、よろしくお願いします。

2008/10/28 16:15:13
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4359ベストアンサー獲得回数3982008/10/28 14:52:59

ポイント10pt

 場合分けをした時の前提条件を忘れています。

(i)の場合、x≦-1または、1≦xの範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。D1>0だけでは、足りません。

(ii)の場合、-1≦x≦1の範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。D2>0だけでは足りません。

 判別式で考えようとしても上記の条件が付いているから複雑になってきますので、解答のように、ふつう、「数係数のf(x)=文字定数(または、1次式)に変形」して、グラフを利用して共有点の個数を調べるのが定石のようです。

id:massa-will

ありがとうございます。

>x≦-1または、1≦xの範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。

>-1≦x≦1の範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。

両方とも不可能ではないですか?

2008/10/28 16:36:19
id:idetky No.5

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/10/28 16:46:15

ポイント10pt

> 場合分けに用いた条件を忘れてしまうとそうなるということですね?

そうです!

それぞれの判別式のみでは、Xの場合わけを無視した際の解の個数しか判別しません。

Xの条件によってグラフが変化する今回のような問題では、判別式だけでは回答できないのです^^

id:massa-will

よくわかりました。ありがとうございます。

2008/10/28 16:51:41
id:yo-kun No.6

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/10/28 17:13:12

ポイント75pt

計算を見てみましたが議論が少々おかしいですね。

特に「xの値によらず」のあたりです。

ここでのxは具体的な解ですので変数ではありません。


xのままだと混乱するかもしれませんので、2解をα、β(α>β)としましょうか。

つまり\frac{-1\pm\sqrt{4k+5}}{2}をそれぞれα、β(α>β)とするのです。

必要なのは2解α、βが共にx^2-1≧0の範囲にあること、

つまりα^2-1≧0かつβ^2-1≧0が成り立つことです。

α、βはα^2+α-k-1=0,β^2+β-k-1=0を満たしますので、上記の条件は

k-α≧0かつk-β≧0と言い換えることができます。

大きいほうをαとすれば

k-\alpha=k-\frac{-1+\sqrt{4k+5}}{2}\ge0

整理して

2k+1\ge\sqrt{4k+5}

これを満たすkはややこしいですがグラフを書くとわかりやすいです。

f:id:yo-kun:20081028170219g:image

で、k≧1となることがわかります。

β(解の小さいほう)に関しても条件を求めるとk≧-1となることがわかります。

k≧1かつk≧-1なので結局k≧1ということになります。


結果としては同じになるのですがmassa-will様の考え方ではおかしいことはお分かりでしょうか?

id:massa-will

計算がややこしいので考え方のほうをいじりましたが、やはりマズかったです。

ただ、グラフを考えなかった場合、

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028183149

と計算されます。これの不備はどんな点にあるのでしょうか?

たびたびで、本当にすみません。

2008/10/28 18:36:35
  • id:idetky
    すみません。。。最後の奴は、コメントで書いたつもりが。。
    小窓で開いて書いてたため、回答欄に書いてしまいました。。
  • id:rsc96074
     確かに2次方程式が4つの実数解をもつのは不可能ですね。(汗;)ならば、(i)の範囲で2つ実数解をもって、かつ、(ii)の範囲で2つ実数解をもつ条件をグラフを描いて考えないといけなくなりそうです。いずれにしても、複雑になるようです。定石どおりの解法の方をお勧めします。
  • id:massa-will
    idetkyさん
    気にされなくても、大丈夫です。

    rsc96074さん
    ドンマイです(^^)
  • id:yo-kun
    関数√(4k+5)はそもそも4k+5≧0でのみ定義されます。
    つまりk≧-5/4でなければならないのです。
    また、2k+1≧√(4k+5)≧0ですからk≧-1/2でなければなりません。
    このような式には暗黙的な定義域があると思って下さい。
    (これが無理関数の比較計算がややこしい理由でもあります。)

    結局k≦-1は条件に合わないわけです。
  • id:massa-will
    ようやくクリアになりました。
    何度もお付き合いしていただいた結果です。ありがとうございます。

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