自分で書いた絵をイラストレーターのベジェ曲線で描いたのと同じようなデータに変換することは可能ですか。

複雑な線だと難しいですが、単純な図形なら可能です。

GIMP

http://blog.goo.ne.jp/sigetch_2005/e/6f1d5881356cfc0596742a7d8ee...

> イラストレーターのベジェ曲線

おそらく、ベクトルデータへの変換を行いたいのだと思います。

通常は、書き込んだ絵をスキャンして、illustratorなどでトレースを行い、ベクトルデータにしています。

ただ、自動変換を希望されるなら、有料ソフトを利用する必要がありますが、参照URLでは、無料のWeb Serviceなども存在するみたいです。

参照：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3561195.html

そういう意味では、回答は「はい」です。

ラスターをベクターに変換するプログラムが存在します。

http://potrace.sourceforge.net/

他にもたとえば Photoshop には選択範囲をパスに変換する機能がありますので、そういった方法でもラスターからベクターの変換は一応可能だと思います。

また、手作業で膨大な手間と時間を費やし、あたかも写真であるかのごときイラスト（ベクター画像）を描く人も居ます。おそらくそういう手法をお探しではないでしょうが、広義にはこれもベクターへの変換と言えると思います。