<問題・解答例>

図形と方程式
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081114130924
<質問>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081114130221
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/11/14 13:11:57
  • 終了:2008/11/14 19:18:38

回答(3件)

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/11/14 13:40:48

ポイント100pt

こんにちはっす!

さて、

折角XとYとの関係が分かったのに、なぜ再びxとyに置き換えるか!

との事ですが、回答は、、、

問題文で使ったxとy

回答のxとyはまったく別物だから

です。

pとq

lとm

でもいいのですが、一般的に二つの変数の関係がどのような関係になるかを示すときにはxとyという文字を使うのが一般的だからです。

id:massa-will

こんにちわ。回答をありがとうございます。

繰り返しになってしまうかもしれませんが、自分の疑問を下のコメント欄に書きますので、

再度の回答をいたたげれば嬉しいです。


2008/11/14 15:59:59
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4391ベストアンサー獲得回数4022008/11/14 14:36:29

ポイント20pt

 X,Yの式のままでもいいです。しかし、X,Yをx,yに書き直して答えるのは、高校数学の慣習のようです。

 求める軌跡を、f(X,Y)=0と導いた後、「よって、点(X,Y)は、xy平面上で次式で表される領域にある。f(x,y)=0」と最後に書きたせばいいです。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

繰り返しになってしまうかもしれませんが、自分の疑問を下のコメント欄に書きますので、

再度の回答をいたたげれば嬉しいです。


2008/11/14 16:00:18
id:language_and_engineering No.3

lang_and_engine回答回数170ベストアンサー獲得回数632008/11/14 14:54:16

ポイント60pt

(1)【条件を表す式】

x^2+y^2=4

(2)【軌跡を表す式】

Y=\frac{1}{2}X^2-2


「(2)のように,XとYを使って回答するべきなのではないか?」というご質問ですね。

それでも正解です。


問題文中の軌跡は,

  • (a) 「x+y軸」と「xy軸」という2つの軸で作った座標系上に存在する。

もしくは

  • (b) 「X軸」と「Y軸」という2つの軸で作った座標系上に存在する。

これはどちらも同じ意味で,どちらも正しいのです。

でもいつもグラフを書いたりする際には,

グラフ上に小文字で「x軸」,「y軸」と書きますよね。

ですので回答では,軌跡(グラフ)を提示するにあたり,

(b)の大文字のXとYを,【慣用的に】小文字のxとyに置きなおしているのです。

これは変数の「名前をつけ直した」だけであって,

それまでに出てきた小文字のx,yとは関係ありません。

  • (c) グラフというものは便宜上どれも「x軸」と「y軸」という2つの軸で作った座標系上に存在する事にする。

と考えて,その都度新しくx,yを使っているのです。


ポイントは,

  • (1)と(2)で使われているx,yは全く別のもの
  • (2)で小文字のx,yを使っている理由は,「グラフや軌跡を描く際にはたいてい軸の名前は小文字のx軸,y軸につけ直す」から。あくまで,かぶっているのを気にせずに適当に名前をつけ直しただけ。

という事です。


※本当は(1)(2)で同じx,yという文字を使うのは良くないです。

しかし「点(~,~)は…」と言われたら,高校では暗黙の了解のうちに,

その座標を小文字のx・y軸上にプロットします。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

繰り返しになってしまうかもしれませんが、自分の疑問を下のコメント欄に書きますので、

再度の回答をいたたげれば嬉しいです。

2008/11/14 15:54:15
  • id:massa-will
    質問の補足
    以下、自分の考えです。不備を説明してください。よろしくお願いします。

    x^2+y^2=4を満たすという条件は、xy平面をx^2+y^2=4が存在するxy平面に限定する
    ということを含んでおり、当然に答えもその同じ平面で定義される必要がある。
  • id:massa-will
    なんかわかってきました。
    初めの条件式は、値域や定義域と同等に扱うべきなのですね?
  • id:massa-will
    あらー、いま読んでた大切なコメントが消えている!
    自分のご操作だったら、idetckyさんに申し訳がありません。
  • id:idetky
    > x^2+y^2=4を満たすという条件は、
    > xy平面をx^2+y^2=4が存在するxy平面に限定する
    > ということを含んでおり

    残念ながら違います。
    問題文のxyと回答のxyが「世界が違う」ことを理解してもらうために、次の例題を考えてみてください。

    「おこずかいとして200円をもらいました。
    10円のお菓子Aと、20円のお菓子Bをそれぞれx個とy個買うとします。

    ある人がこの時のそれぞれ購入したお菓子の個数の相加平均(x+y)/2をx軸に、相乗平均(xy)^1/2をy軸にしたグラフが欲しいといいました。このグラフはどのようなグラフになりますか?」

    さてこのとき描かれる、なんだか「経営」だとか「経済」」だとかに関係しそうなグラフの世界(xy平面)、は、ちょっとおやつを買うような「うきうき気分の」お菓子の世界(xy平面)とは違いますよね。

    このグラフは「x軸⇒相加平均、y軸⇒相乗平均」という新しい世界(新しいxy平面)のお話になります。

    それでは、
    「x^2+y^2=4を満たすという条件が、xy平面をx^2+y^2=4が存在するxy平面に限定しているわけではない」
    とすると、この条件はいったい何を限定しているのか。

    よく考えてみると、
    x^2+y^2=4という数式は、xの範囲を限定し、yの範囲も限定していますよね。するとx+yのとりうる範囲も限定され、xyのとりうる範囲も限定します。これは、それぞれ新しいグラフの定義域と値域が限定されているわけです。

    すなはち、与えられた「x^2+y^2=4」という数式は、新しい世界(新しいxy平面)の値域と定義域を限定しているのです!



  • id:idetky
    あっと、ちょっと書き直してみました。
    massa-willさんのせいではありません^^;

    > 初めの条件式は、値域や定義域と同等に扱うべきなのですね?

    おお!追加して書き込んだこととまったく同じことをかかれてますね~^^

    そのとおりです!
    初めの条件式は、新しいグラフの値域や定義域を限定しています!

    あっ、正確にはちがうか。

    新しいグラフの「挙動」と、「新しいグラフの値域や定義域」を限定しているわけです。

    が正解。上のコメントも訂正してください^^;


    ※なんだか5分以内に再投稿できないみたいなので、待っていますが、待っている途中でまた書き込みが入れ違いになるかもしれませんね^^;
  • id:language_and_engineering
    世の中にx,yという文字を使った問題はたくさんあります。

    しかしながら,それらの全てが同一のx,yを指して使われているわけではありません。

    この問題においても,条件設定のために使ったx,yと,軌跡表現のために使ったx,yと,同一ではないのです。

    (でも同じ文字を使うのは気持ち悪いですね。)
  • id:massa-will
    idetkyさん
    わかりやすい例題をありがとうございます。補足の「ちなみに・・」もとても助けになりました。

    『新しいグラフの「挙動」と、「新しいグラフの値域や定義域」を限定している』

    これで正当な理解ができそうです。あとは、自分のなかで深化させるのみです。
    何度も回答をいただきまして、ありがとうございました。

    PS 入れ違いは避けられたようですね^^
    それから、idetkyさんのネームに余計なcをつけてしまいました。すみません。
    消したと思って、動揺していたようです^^;
  • id:massa-will
    language_and_engineeringさん
    コメントをありがとうございます。
    はい。定義する世界のダブルスタンダードというか、受け入れるのにちょっと苦労しました。
  • id:rsc96074
     遅くなってすみません。私は、参考書に「高校数学の慣習」と書いていたので、ずっと、そうだと思っていました。実際は、別の本では、X,Yの式のままのものもあります。
     なぜ、慣習になっているのかは、軌跡の問題では、「最終結果は、「自分が選んだ座標軸にはよらない形」に直すのが原則である」からかも知れません。
    ・「新・受験数学勉強法 (ブルーバックス (B‐488)) (新書) 」p.167
    http://www.amazon.co.jp/%E6%96%B0%E3%83%BB%E5%8F%97%E9%A8%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8B%89%E5%BC%B7%E6%B3%95-%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9-B%E2%80%90488-%E6%A0%B9%E5%B2%B8-%E4%B8%96%E9%9B%84/dp/4061180886/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1226696547&sr=8-1
  • id:massa-will
    恐縮します。
    >最終結果は、「自分が選んだ座標軸にはよらない形」に直すのが原則である
    最後に一般化するということですね。とても勉強になります。ありがとうございます。

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