<問題・解答例>

三角関数
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081118013107
<質問>
(2)の解答例で、円で囲んであるところですが、なぜ0<α<π/4なのですか?教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/11/19 14:14:53
  • 終了:2008/11/19 19:19:24

回答(4件)

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/11/19 15:17:53

ポイント65pt

この問題なら、

0<α<π/2

でも良いと思います。。。^^;

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982008/11/19 16:41:02

ポイント20pt

 sinα=2/√13, cosα=3/√13だから、αの値は決まっています。(αは第一象限にあるから、関数電卓でα=asin(2/√13))

y=√13sin(x+α)のグラフを書きたいんで、αのおおよその値が分かりたいのだと思います。

αは第一象限にあるのは、明らかだから、sinα=2/√13から、関数電卓が使えないので値ズバリは分かりませんが、おおよそどれくらいの範囲にあるかは分かります。

sin(x)は第一象限で、増加関数だから、sin(π/4)=√2/2との大小関係を比べればいいわけです。

2/√13>0、√2/2>0だから、2乗の差を比べれば大小関係が分かります。

(2/√13)^2-(√2/2)^2=4/13-1/2=-5/26<0

∴α<π/4

αは第一象限にあるから、0<α<π/4

id:massa-will

回答をありがとうございます。

第一象限にあるだけならば、(π/4)±2nπというように無限にありうるのに、

どうしてπ/4でとめるのかわかりません。教えてください。

2008/11/19 17:15:02
id:language_and_engineering No.3

lang_and_engine回答回数170ベストアンサー獲得回数632008/11/19 17:36:59

ポイント50pt

画像にはグラフが3枚載せられていますね。


もし,αがどんな範囲にある数なのか不明だとしたら,この3枚目のグラフを描く事はできません。

例えば仮にαが負の値を取るとしたら,解答は全く異なる結果になります。

ですので,解答に「αの存在する範囲は~である」という文章を含めることが必要になります。



そこでαの範囲を求めるわけですが,

まず2枚目のグラフを描くと

\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}

かつ

\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}

であるようなαは,第一象限にあるのがわかります。

第一象限ですので,

0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}

です。



そして,その2枚目のグラフ中で,横3縦2の長方形ができますが,

これは横長なので,

0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{4}

がわかります。



>(π/4)±2nπというように無限にありうる

注意して頂きたいのは,このαは「自分で自由に選んだ」のである,という事です。

「αを求めよという問題が出されたので値を求めたい」というのではありません。


与式を一つのsinで表したいと思ったから,自分で好きに設定したαなのです。


なので,π/4 でなくても,9π/4のように選んでも構いません。

【与式を一つのsinで表した時の結果さえ正しければ】何でもいいのです。



解答例の最初の3行を,下記のように読み替えるとわかりやすいでしょう。


~~


(2)いま,仮にある一つのαという角度を設定して

3 \sin x + 2 \cos x = \sqrt{3^2+2^2} \sin (x+\alpha) =\sqrt{13} \sin (x+\alpha)

と書けたとする。

このときのαは

\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}, \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}を満たす。

そのようなαとして,以下では

0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{4}

を満たすものを使う事にする。


~~

id:massa-will

とてもわかりやすく、助かりました。ありがとうございます。

いただいた答案例は、回答内容のまとめとしても読むことができ、よかったです。

2008/11/19 19:14:38

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 idetky 426 392 20 2008-11-19 15:01:52
  • id:idetky
    すみません!!
    最初の回答は開かないでください。。。(;ω;)

    質問の意図を勘違いしてましたw
    というか、自分が間違ってます。。orz


  • id:massa-will
    回答をありがとうございます。
    大丈夫です。2番だけ開けました^^
  • id:idetky
    > (π/4)±2nπというように

    ですが、

    確かに、
    2nπ<α<2nπ+π/4
    ですが、
    個々でたとえば、
    α=α’+2nπ・・・①
    としましょう。
    すると、
    2nπ<α<2nπ+π/4
    より
    2nπ<α<2nπ+π/4

    2nπ<α’+2nπ<2nπ+π/4

    0<α’<π/4
    です。
    さて、①を
    13^(1/2)sin(x+α)・・・②
    に代入してみましょう
    すると、
    ②⇔13^(1/2)sin(x+α’+2nπ)
    ここでx+α’=pとすると、
    ⇔13^(1/2)sin(p+2nπ)
    ⇔13^(1/2)sin(p)cos(2nπ)+13^(1/2)sin(2nπ)13^(1/2)sin(p)
    ⇔13^(1/2)sin(p)
    ⇔13^(1/2)sin(x+α’) (0<α’<π/4)
    となります。
    ということは、はじめから、
    13^(1/2)sin(x+α)  (0<α<π/4)
    としても同じなわけです。
  • id:idetky
    イメージとしては、
    (π/4)±2nπ
    の±2nπは
    「ぐるぐる回って元に戻った(0~π/4)のところからスタートします」
    というイメージなので、
    「それじゃあ、初めっから(0~π/4)のところでいいじゃん」
    というわけです。
  • id:idetky
    > 13^(1/2)sin(p)cos(2nπ)+13^(1/2)sin(2nπ)13^(1/2)sin(p)

    13^(1/2)sin(p)cos(2nπ)+13^(1/2)sin(2nπ)sin(p)
    の間違いです。。。orz
  • id:rsc96074
     黄チャートには、「普通、αは、-180°<α≦180°または、0°≦α<360°にとる。」と書いてあります。
    モノグラフ公式集では、「αは、-π<α<πにとるとよい。」とすすめているようです。
  • id:massa-will
    idetkyさん
    とてもよくわかりました。
    訂正や補足を含め、何度も書き込んでいただいて、助かりました。
    ありがとうございます。
  • id:massa-will
    rsc96074さん
    参考にします。ありがとうございます。
  • id:rsc96074
     ちなみに、α=asin(2/√13)= 0.588002603547567551= 33.6900675259797869°
    ということで、もっと限定すれば、0<π/6<α<π/4<π/3<π/2の範囲にあります。
     他の参考書で似たような問題を見つけましたが、グラフを書いて、最大最小値を求めていました。
    0<α<π/4のように、αの範囲の限定はしていませんでしたが、グラフを描くにはαのおおよその大きさが分かった方がいいようです。
  • id:massa-will
    終了後にもありがとうございます。
    とても参考になります。

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