線形システム・信号処理・関数論などに関連した質問です。


フーリエ/ラプラス解析では,信号の分解結果が人間の直感に即したものになります。
線形性や逆変換の存在といった良い性質もあるので,フィルタをつなげてブロック線図が作れます。

しかし,気になっていた点なのですが,(複素)正弦波以外の何かの基底・関数系を使って,同じように

・信号の分解結果にできるだけ【直感的な意味】を持たせる

・ブロック線図のような連結したフローを描いて,システム理論を構築する

といった事は,可能なのでしょうか?

また,そういった研究は既にどこかでなされているのでしょうか。

※ウェーブレット/ウォルシュ関数/キュムラントなどの【結局はフーリエ解析に還元される数々の手法】を除きます。
※例えば思い付きで直感性にも欠けるのですが,テイラー展開は見方を変えると「テイラー変換」とみなす事ができないでしょうか。
十分長い系列を持った信号のテイラー成分を数値計算することにより,「この信号は sin ωt だ」などの近似判定を(少なくとも)試みる事はできますよね。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/11/19 17:04:26
  • 終了:2008/11/26 17:05:02

回答(1件)

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472008/11/20 23:27:49

ポイント60pt

基底としての複素正弦波、あるいは平面波というのは平行移動の固有関数であるというのが特徴ですね。つまり平行移動しても対称な系では、平面波がその系での何らかの線形な方程式の解になっているはずです。減衰する音波の伝播方程式とか。

並進対称でなく、たとえば回転対称な系では球面調和関数とかベッセル関数とかが固有関数として出てきます。量子力学のs軌道、p軌道などが典型的ですね。量子計算でも平面波で展開する場合と各原子のS軌道、P軌道などで展開する場合があります。

id:language_and_engineering

ご回答をありがとうございます。

確かに,信号の周波数分解も,各物理現象の固有関数による展開も,どちらも「基底による表現」ですね。

そして基底の取り方は様々だと思います。

しかし気になったのは,基底の種類にどういうものがあるかという事よりも,


(1)その固有関数や基底による分解結果に直感的な意味を持たせられるだろうか?

(2)分解の産物をつなげて,線形システム論のような世界が構築できるか?

ということなんです。


イメージで言うと,

(1)オシロスコープで「フーリエ成分の波形」を眺めれば,人間の聴覚上の高低の判断ができます。同じように,あるふしぎなスコープで信号の「ベッセル成分の波形」を見たら,あれこれと有益な判断ができるか。→できたらおもしろそう

(2)フーリエ変換の世界つまり複素正弦波を「フーリエ基底」と呼ぶ事にして,フーリエ基底上で設計したフィルタをつなげていけば制御論が構築できます。同じように,「ベッセル基底」(ベッセル関数)上でフィルタのようなものを設計して,それをつなげることによって,入力信号をうまく加工するようなことができるか。→できたらおもしろそう

という感じです。

2008/11/21 01:14:17
  • id:ita
    あ、すいません終わってしまった。

    基底を大きくわけると、全時間に広がったもの(つまり特定の時刻を特別扱いしない)か、そうでない関数(特定の時刻を特別扱いするもの)の二種類があると思います。前者を使うとすれば正弦波かそれに毛の生えた程度の違いしかないものに限定されると思います。
    x^nとかは後者になると思います。時刻0におけるパスルへの応答、とかであればt=0を特別扱いする関数を使うことになります。まあでもその場合は exp(-st)を使ってラプラス変換かな。
    基底としては、何かフィルタにかけた時に波形が変わらず振幅だけが変わるもので展開するのが分かり易いので、正弦波がそうならず、他の関数がそうなるようなフィルタ(時刻でパラメータが変わるとか)なら別の基底を使うことになるでしょうね。
  • id:language_and_engineering

    フォロー感謝です。いつの間にか1週間たったので質問が自動終了してしまいました。


    特定時刻の特別扱いについては,確かに直感的な解釈を可能にするためには望ましい要素ですね。

    振幅のみ変換という操作の可能性については,線形性に帰着するかと思います。これもフィルタ云々と言いだすには必要な要素と思います。

    仮に上記2つの性質を無視してしまって,時刻不変性が確保できず,しかも非線形,となるとやはり手探りですね。
    正弦波ファミリーがいかによくできたモデルか思い知らされます。


    フーリエ解析が「うけた」理由は,切り口が物理現象だったからと思います。
    全く別のやり方で基底,成分,フィルタ(→変換操作)とやり始めるためには,量子論のように,土台を代数メインに移すしかないのかもしれませんね。
    そうすれば,基底や成分がどうこうというのは一気に拡大できます。

    しかし,できれば一般解析学の世界で,正弦波系以外で構築されたフィルタ理論というのを見てみたいものです。
    もしできないなら,なぜやりにくいのか,正弦波ファミリーだけがなぜ特殊なのかの説明が欲しい所です。

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