<問題・解答例>

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081204125052
<質問>
解答例の下から3,4行目について、自分なりにも解けるには解けますが、瞑想のように解いています。
明瞭な解き方を教えてください。お願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/04 13:15:09
  • 終了:2008/12/04 19:31:55

回答(3件)

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/04 14:13:18

ポイント60pt

こんにちは!

さて、この問題ですが、

log(x)y<0・・・① または 1<log(x)y<2・・・①</p>

までは理解していると言うことでよろしいんですね。



さて、対数関数のグラフは、底(この場合はx)0~1の時と、1~の時で大きく変わります。



t=log(x)yというグラフを頭に思い浮かべてみると、

0<x<1のとき、このグラフ(というかtの値は)はy(普通のx-yグラフと違って、yが横軸になります)が0~1の間で正、1~で負になりますよね。<br>

そして逆に1<xのとき、このグラフ(というかtの値は)はy(普通のx-yグラフと違って、yが横軸になります)が0~1の間で負、1~で正になります。</p>



このことを考慮に入れて①を見てみると、


log(x)y<0 となるのは、

(1)0<x<1のときの1<y</p>

(2)1<xのときの0<y<1</p>

となります。

同様に、場合わけして②も考えればオッケーです!

id:massa-will

こんにちは。

自分の質問文が下手で、若干ニュアンスが違ってしまいました。

でも、大丈夫です。理解できました。ありがとうございます。

2008/12/04 19:05:31
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032008/12/04 15:07:41

ポイント80pt

(A)で、log_x(y)=tとおいて、符号を変えないようにt^2をかけると、

t(t-1)(t-2)<0

3次関数のグラフを考えて、t<0または、1<t<2

したがって、log_x(y)<0または1<log_x(y)<2

0<x<1のとき、←この範囲では不等号の向きが逆になる cf.チャートの「底に向きあり」</p>

log_x(y)<0から、y>x^0=1

1<log_x(y)<2から、x^1>y>x^2すなわちx>y>x^2

X>1のとき、←この範囲では不等号の向きはそのまま

真数条件y>0だから、

0<y<1またはx<y<x^2

id:massa-will

わかりやすい解説で、イメージしやすくなりました。

ありがとうございます。

2008/12/04 19:06:49
id:misha-sakuraba No.3

misha-sakuraba回答回数4ベストアンサー獲得回数02008/12/04 15:21:49

ポイント80pt

対数ですので、xとyは1を除く正の数ではなくてはなりません。

さて、(A)の左辺がマイナスになるには、「-/+」か「+/-」の形になるはずです。

x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0とx<0を同時に満たすのは、

x<0の時です(左の式は1<xまたは2<x)

また、x2-3x+2=(x-1)(x-2)<0とx>0を同時に満たすのは、

1<x<2の時です。

logxy<0=logx1で、

0<x<1の時、yが増加するとlogxyは減少するので、

y>1となります。

右の条件も1=logxx<logxy<2=logxx2と変化させれば考え方は同じです。

x>1の時は、yが増加するとlogxyも増加するので、

解説通りの答えが出てくると思います。

id:massa-will

わかりやすい式を見せてもらい、イメージしやすくなりました。

ありがとうございます。

2008/12/04 19:08:58
  • id:rsc96074
    ○対数不等式の解法
    a>0, a≠1のとき、log_a(A)>log_a(B)
    0<a<1のとき⇔0<A<B
    a>1のとき⇔A>B>0 ←真数>0
    ↑底に向きあり
  • id:idetky
    あっ、これってもしかしてチャート!?
  • id:rsc96074
    そのようですね。でも、昔のチャートってもっと詳しかった感じですが、どうでしょうか。妙にあっさりしているような。「本質の研究」、ググってみましたが、レベルの高い参考書のようです。問題よりも基本事項の講義?まとめが素晴らしいみたいです。「大学への数学」の著者の一人が書いているようです。これ買うのだったら、「黒大数」と呼ばれている「大学への数学」シリーズがいいかも。でも、「黒大数」は、微分の問題で積分の知識を使ったらこう簡単に解けますよ的な解答があって、まだ、1周していない人にとっては、難解であり、1周した人にとっては、凄い!と思わせるレベルの高い参考書です。やはり、まだ、1周していない人にはチャートが一番いいと思っていましたが、ちょっとあっさりしすぎですよね。
  • id:massa-will
    rsc96074さん、idetkyさん
    はい。チャートです^^
    前回のお話を考えるなかで、『本質の研究』はそこそこに切り上げたほうがよいと判断しました。
    rsc96074さんは『本質の研究』を見てくださったのですね。ありがとうございます。
    使用のチャートは赤です。「妙にあっさりしているような」はそのためかもしれません。
    青も試したのですが、どうもしっくりきませんでした。解説もそんなに手厚いものではなかった
    ように思いました。

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