<問題・解答例>

数Ⅲ極限
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081206130518
<質問>
(2)です。メモにありますが、あれこれ考えてもいまひとつクリアにならない感じです。
指針もよくわからないので、これにからめて解説をお願いします。特に公比の指数が3nであること、
式が無限等比級数をあらわすものであること(これすらこんがらがってしまいました)がポイントを
おいてください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/06 13:24:55
  • 終了:2008/12/06 20:23:03

回答(4件)

id:urony No.1

urony回答回数42ベストアンサー獲得回数12008/12/06 14:32:10

ポイント20pt

(2)2行目の、1/2の3n乗とあるのは、P3nP3n+1の長さです。

その横の「和項として・・」とコメントのある( )は、

P3nP3n+1の長さを1としたときの、P3n+1P3n+2とP3n+2P3n+3の長さの和です。

Pnは無限に書けるので、nも無限にあるので、座標が等比数列で表せるから、無限等比級数であるということです。

文章にしずらかったので読みにくいかもしれません。わからなければコメントお願いします。

id:massa-will

回答をありがとうございます。参考になりました。

2008/12/06 20:02:39
id:joru_bugu No.2

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62008/12/06 14:32:54

ポイント80pt

この問題では、

P0 からスタートし、

P0 → P1 → P2 → P3と進んでいきますね。

P1で60度の角度で曲がり、P2で60度の角度で曲がり、更にP3で60度の角度で曲がります。P3で曲がった時点で、線分P0P1と平行になりますね。

その後は

P3 → P4 → P5 → P6と進みます。

やはりP4で60度の角度で曲がり、P5で60度の角度で曲がり、P6を曲がった時点でP0P1と平行になります。以降、これの繰り返しです。

つまり、3回進むと元の形に戻るという事がわかります。だから、点P3、P6、・・・、P3nについて考えてみよう、というのがこの問題の指針です。

(1)で、PoとP3の関係が調べられています。x座標において、



x3=x0 + 1 + (1/2)×cos(2π/3) + (1/2)^2×cos(4π/3)



最初にP0(x座標はx0)にいて、そこから1進む、そこで60度の角度で曲がり、1の半分の長さを進む。そこでまた60度曲がり、((1/2))の半分の長さを進む。そうすると点P3にたどりつきます。上の式はそれを表しているのです。同様に、P3からP6に進む場合も、x座標において、



x6=x3 + (1/2)^3 + (1/2)^3×(1/2)×cos(2π/3) + (1/2)^4×(1/2)×cos(4π/3)



点P3から、右方向に(1/2)^3進み、60度の角度で曲がり、(1/2)^3の半分の長さを進む。そこでまた60度曲がり、(1/2)^4の半分の長さを進む。というのが上の式です。

同様にしてP3nからP3(n+1)に進む場合は、



x3(n+1)

=x3n + (1/2)^3n + (1/2)^3n×(1/2)×cos(2π/3) + (1/2)^3n×(1/4)×cos(4π/3) 

=x3n + (1/2)^3n×〔1 + (1/2)×cos(2π/3) + (1/4)×cos(4π/3)〕

=x3n + (5/8)×(1/2)^3n



となります。

この式のnに、例えば1を代入すると、x3=8/5より、


x6 = x3 + (5/8)×(1/2)^3

= (5/8) + (5/8)×(1/2)^3・・・①

n=2のときは、

x9 = x6 + (5/8)×(1/2)^6

  =(5/8)+ (5/8)×(1/2)^3 + (5/8)×(1/2)^6 (①より)

n=3のとき、

x12= x9 + (5/8)×(1/2)^9

  = (5/8) + (5/8)×(1/2)^3 + (5/8)×(1/2)^6 + (5/8)×(1/2)^9


よって、


x3(n+1)

=(5/8) + (5/8)×(1/2)^3 + (5/8)×(1/2)^6 +・・・・ + (5/8)×(1/2)^3n


となります。これは、初項が (5/8)、公比が(1/2)^3の等比級数ですね。

だから、nを大きくしていく事により、無限等比級数となるわけです。同様の考えで、y座標も求まります。

すみません、わかりずらかったかもしれませんm(__)m

id:massa-will

>わかりずらかったかもしれません

とんでもないです。特にx3とx6の式のところが理解の助けになりました。

ありがとうございます。

2008/12/06 20:07:15
id:misha-sakuraba No.3

misha-sakuraba回答回数4ベストアンサー獲得回数02008/12/06 15:36:34

ポイント50pt

当然ですが、PnとPn+1を結ぶ線の長さは1/2nですね。

なので、P3nとP3(n+1)を結ぶ線の長さは(1/2)3nとなります。

(これが公比の指数が3nの理由です。

なお、直感で分かると思いますが、P3nの各点はy=√3x/5上に並びます)

あと、P3nとP3(n+1)のx座標の差は(1/2)3n・5/8ですよね。

なので、P0とP3nのx座標の差は、

(1/2)3・5/8+(1/2)(3・2)・5/8+(1/2)(3・3)・5/8+…+(1/2)(3n)・5/8

問題には書かれていませんが、nが大きくなるほど、PnとPn+1の差はほとんどなくなります。

で、n=∞とすると、無限等比級数の出来上がりというわけです。

あとは公式通りです。y座標も同様に求めて下さい。

id:massa-will

参考になりました。ありがとうございます。

2008/12/06 20:08:50
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4388ベストアンサー獲得回数4022008/12/06 19:13:52

ポイント50pt

 x[3n]=u[n]とおくと、

u[n+1]=u[n]+(5/8)(1/2)^(3n)=u[n]+(5/8)(1/8)^n

∴u[n+1]-u[n]=(5/8)(1/8)^n・・・①

ここで、u[n]は、階差数列であることが分かります。

u[0]=0ですが、n=1を初項にとりたいので、(1)で求めたx[3]=u[1]を初項にしています。(∵P_[3n]のx座標)

初項も分かっていることだし、①から、u[n]が階差数列であることから、u[n]を求めてもいいのですが、求めなくても、①の形から等比級数になることは分かります。したがって、nを大きくしていけば、無限等比級数になります。

 y[3n]についても、y[3n]=v[n]とおいて、同様にして考えています。

id:massa-will

x[3n]=u[n]とおくと見通しがよくなりますね。勉強になりました。

ありがとうございます。

2008/12/06 20:15:31
  • id:rsc96074
     無限級数の和は、本来は部分和S[n]の極限として求めるのですが、無限等比級数のときは、「|r|<1のとき、a/(1-r)」の公式が使えるので、わざわざS[n]を求めなくてもよいのです。
  • id:massa-will
    はい。それはなんとか知っています。
    けれども、ありがとうございます。

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