1+x+x^2+x^3+・・・=1/(x-1)

の式について教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/06 21:56:22
  • 終了:2008/12/07 20:50:12

回答(5件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4387ベストアンサー獲得回数4012008/12/06 23:08:53

ポイント27pt

x≠1のとき、部分和S=S[n]を

.S=1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)・・・・・①とおくと、「...」は行をそろえるために用いました。

xS=..x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n・・・②

S-xS法により①-②

(1-x)S=1-x^n

∴S=S[n]={1-x^n}/{1-x}

S[n]={1-x^n}/{1-x}=1/{1-x}-1/{1-x}×x^n

|x|<1のときx^n→0であるから、S[n]→1/{1-x}

∴1+x+x^2+x^3+・・・=1/(1-x)

ちなみに、

x≦-1,1<xのとき、S[n]は発散する。

x=1のとき、S[n]=n∴S[n]は発散する。

id:kojiro_i619

|x|<1で成立する式ですよね。

x=-1を用いて、Σn=-1/12,nは自然数が導かれますが、この点についてはどうでしょうか?

1+x+x^2+x^3+・・・=1/(1-x)に、x=-1を用いるのは適当でしょうか?

2008/12/07 10:38:41
id:emitter No.2

emitter回答回数9ベストアンサー獲得回数12008/12/06 23:16:28

ポイント27pt

なぜそうなるのかという話でしょうか?

まず右辺の分母は(1-x)の間違いかと.


Sn=1+x+x^2+...+x^n

とします.(部分和といいます)

すると,

xSn=x+x^2+...+x^(n+1)

ですから辺々引いて

(1-x)Sn=1-x^(n+1)

となります.


ここでx≠1であれば

Sn={1-x^(n+1)}/(1-x)

となります.


さらに-1<x<1であればx^(n+1)→0 (n→∞)ですから</p>

S=1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x)

となります.


ですからこの式は-1<x<1という条件付きです.</p>

等比級数といいます.

id:misha-sakuraba No.3

misha-sakuraba回答回数4ベストアンサー獲得回数02008/12/07 00:22:06

ポイント26pt

(1-x)Σnk=0xk=(1-x)(1+x+x2+x3+…+xn)

=(1+x+x2+x3+…+xn)-(x+x2+x3+x4+…+xn+xn+1)

=1-xn+1

なので、Σnk=0xk=(1-xn+1)/(1-x)

さらに、Σk=0xk=limn→∞(1-xn+1)/(1-x)

=limn→∞1/(1-x)+limn→∞xn+1/(1-x)…★

★の式より|x|≧1では発散、|x|<1では1/(x-1)に収束。

id:language_and_engineering No.4

lang_and_engine回答回数170ベストアンサー獲得回数632008/12/07 14:10:14

ポイント10pt

こんにちは。


>|x|<1で成立する式ですよね。

>x=-1を用いて、Σn=-1/12,nは自然数が導かれますが、この点についてはどうでしょうか?

>1+x+x^2+x^3+・・・=1/(1-x)に、x=-1を用いるのは適当でしょうか?


この部分についてですが,|x|<1 で成り立つはずの式に,x = -1を適用するのは,

複素関数論の「解析接続」という手法を用いればできます。


下記のページをざっと見れば,解析接続を使ってどのような式が導き出せるのか,

雰囲気はつかめると思います。


ゼータ関数と解析接続

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/346_zeta.htm


ただし,質問者さんが導き出したような「-1/12」という値は,

あくまで「解析接続された世界」でのみ成り立つ値であって,

普通は適用範囲外の値を代入してはいけないです。


 

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 rsc 4387 3777 401 2008-12-07 18:17:16
  • id:rsc96074
     一般に、x≦-1のとき、{x^n}は、振動するから、収束しないので、発散します。
    S[n]={1-x^n}/{1-x}で、
    x=-1を代入して、S[n]を求めてみると、
    S[n]={1-(-1)^n}/2
    n=2mのとき、S[n]={1-(-1)^(2m)}/2={1-1}/2=0
    n=2m+1のとき、S[n]={1-(-1)^(2m+1)}/2={1-(-1)}/2=1
    というふうに、振動しています。
     一般に、|x|≧1では、発散するので残念ながら、その公式は使えません。収束条件|x|<1のときだけ使えます。
    ※二つ目の回答と同じ内容です。コメントが開いていなかったので回答に投稿しましたが、コメントが開いたので、再投稿しました。

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