<問題・解答例>

数Ⅲ微分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081210110844
<質問>
メモを参照ください。3つありますので、わかりやすく教えてください。
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/10 11:27:04
  • 終了:2008/12/10 20:36:15

回答(3件)

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/10 12:47:09

ポイント60pt

(1)なぜa≠0が明らかか

a=0の時は、f'(x)=1/sin^2x>0となってしまい、

f'(x)=0を満たすようなxの値が存在しないからです。

(2)なぜ直ぐに判断できるか

①を見た時に、

y=-1/a*2^(1/2)のグラフ・・(I)

y=sin(x-π/4)のグラフ・・(II)

の交点を求める問題

と頭の中で変換できるでしょうか。変換できればこっちのもの。

IIのグラフは、xの範囲を考えると-1/*2^(1/2)から1/*2^(1/2)までの単純増加のグラフ。

Iのグラフは(0、-1/a*2^(1/2))を通るX軸に平行なグラフ

ですよね。

すると、

  • 1/a*2^(1/2)が、-1/*2^(1/2)から1/*2^(1/2)までの範囲にあれば必ず1つ点で交わることが直ぐに分かります。

(3)はまたのちほど

id:massa-will

もやもやがなくなり、すっきりできました。ありがとうございます。

2008/12/10 20:32:19
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/10 16:14:13

ポイント100pt

さて、(3)ですが、私はこういうときは必ず絵を描いてます。


x |____|_c__|___

f(x) |____|f(c)|____

f'(x)| | 0 |



で、まずf'(x)の行は、その値の正負を書き込み、

f(x)の行の所は、f'(x)の正負からグラフの向きをイメージして、

/や\などの、傾きのついた矢印を書き込み、

グラフがどういう形になるかを想像します。

今回の問題では「f'(x)の行は、その値の正負を書き込み」をどうやるか

と言うことですが、ようは極端な値を代入してあげるのです。

例えば、a<0のとき⇒a=-100000000000をイメージする。

するとどうなるか。

f'(x)の分母は常に正なので、分子だけを考える。

2^1/2 * aの値は無茶苦茶負。-100000000000。

さて、sin(x-π/4)の値ですが、

xが0からスタートしてちょぴっと(2~3°)移動したくらいでは、

(x-π/4)の値は負のままです。

するとsin(x-π/4)の値も負になります。

ということは

2^1/2 * a * sin(x-π/4)は「負*負」で正

つまり、f'(x)は最初、正から始まってf'(c)までは正なのです!

そしてc<xを考える時には、今度は、x=π/2のほんのちょっと手前の値を想像して、</p>

(x-π/4)は正⇒ sin(x-π/4)は正

2^1/2 * a * sin(x-π/4)は「負*正」で負。

しかもこの(x=π/2のほんのちょっと手前の値)のときは、a=-100000000000くらいで、sin(x-π/4)はほぼsin(π/4)=1/2^(1/2)

なので、2^1/2 * a * sin(x-π/4)に1を加えた位では、負のまま。

ということで、f'(x)はf'(c)を超えると負になります。

こんな風にしてイメージしてみてはいかがでしょうか。

id:massa-will

>私はこういうときは必ず絵を描いてます。

自分でも絵をかくようにしてみます。とてもよくわかりました。

ありがとうございます。

2008/12/10 20:31:12
id:i_kumagoro No.3

i_kumagoro回答回数170ベストアンサー獲得回数582008/12/10 18:20:46

ポイント60pt

(1) 一番目の方の回答のとおりで、f'(x) = \frac{1}{\sin^2x} となり、f'(x) = 0になる x が存在しなくなるためです。この後で-\frac{1}{\sqrt{2}aという式が出てくるので、どのみち a=0の時は例外的に判定しないといけません。

(2) 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} の範囲において、\sin{(x - \frac{\pi}{4})} は単調に増加するからです。例えばy=x^3のような単調に増加するグラフを書くと、特定のyの値に対応するxは一つしかないことが分かりやすいと思います。

(3) f'(x) の分母は常に正数であり、値の正負はその分子 \sqrt{2}a\sin{(x-\frac{\pi}{4})} + 1 の値の正負によって決定されます。また、上記のとおり\sin{(x - \frac{\pi}{4})} は単調に増加します。ですので、x=c (すなわち\sin{(x-\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\sqrt{2}a}であり、\sqrt{2}a\sin{(x-\frac{\pi}{4})} + 1 = 0となる) 前後において、xの増加 (すなわち\sin{(x-\frac{\pi}{4})}の増加) に伴って f'(x) の分子の値が増えるか減るか(正負のいずれの値をとるか)はaの符号によって決定されます。

例えば、\sin{(x-\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\sqrt{2}a} + \alpha \,\, (\alpha \gt 0)の時、f'(x)の分子は\sqrt{2}a\alphaとなり、その正負はaの正負によって決定されます。

id:massa-will

よくわかりました。ありがとうございます。

2008/12/10 20:35:25

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