<問題・解答例>

二次関数
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081215112336
<質問>
重解とは、解がいくつのことなのでしょうか?これまで何となく判然としなかったことです。
教えてください。掲載の問題はあくまでサンプルとしてのものです。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/15 11:31:07
  • 終了:2008/12/15 17:25:41

回答(6件)

id:pahoo No.1

pahoo回答回数5960ベストアンサー獲得回数6332008/12/15 11:36:54

ポイント40pt

解が2つ以上あることです。


2次方程式では、最大でも解は2つしかありませんから、「重解=2つ」ということになります。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

よろしければ、コメント欄の追加質問に回答をいただけませんか?

2008/12/15 13:17:55
id:frkw2004 No.2

ふるるP回答回数192ベストアンサー獲得回数212008/12/15 11:48:21

ポイント100pt

方程式では、解を求める対象によって、1次方程式、2次方程式、3次方程式、・・・と名前がつけられています。xについての方程式であれば、xが1乗(1乗の場合は普通書きません)、xが2乗されている・・・、などで何次式なのかがわかります。

解があるとき、

1次式の場合、解はひとつ

2次式の場合、解は2つ

3次式の場合、解は3つ

・・・

となります。

しかし解によっては重なることがあります。

x^2-2x+1=0

というような方程式は、因数分解して(x-1)^2=0となりますが、これは

(x-1)(x-1)=0と同じことです。

この式が成り立つにはx=1またはx=1のとき、となり、同じ数値が答えになります。

答えが重なっているので、重解と呼びます。

二次方程式で重解となっている場合、二つある答えが重なっているので、結局答えはひとつになります。

3次方程式だと、二つが重なっていると、答えが2つになります。(例えばx=-1,X=1,X=1が答えの場合) ・・・ これは高校で習います。

二つの答えが重なって、一つになっています。

方程式が成り立つようなxがない場合、解なし、となります。

id:massa-will

回答をありがとうございます。とてもわかりやすいです。

ただ、疑問が残ります。よろしければ、コメント欄の追加質問に回答をいただけませんか?

2008/12/15 13:18:42
id:idetky No.3

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/15 11:53:51

ポイント100pt

解が二つ以上重なっている(=同じ値になっている)場合を重解と言います。

2次方程式なら、解が一つのとき

3次方程式なら、解が二つもしくは一つのとき。

 ⇒三次方程式で解が一つのときは、特に三重解といいます。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

よろしければ、コメント欄の追加質問に回答をいただけませんか?

2008/12/15 13:24:12
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4394ベストアンサー獲得回数4022008/12/15 12:21:56

ポイント100pt

 こちらのことでしょうか。

>結論的にいえば,二次方程式の重解の場合,「1つしかない」のが「解」であり,「同じものが2つある」のが「根」である.

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node5.html

id:massa-will

とても勉強になりました。ただ、疑問が残ります。

ふつうの問題文(今回掲載の問題など)のように言葉が区別されていませんから、

自分の勘で解と根のどちらを聞いているのかを判断するしかないように思えます。

これは不安なことです。判断基準はないのでしょうか?例えば、今回掲載の問題文では

どう判断しますか?

2008/12/15 13:15:48
id:urony No.5

urony回答回数42ベストアンサー獲得回数12008/12/15 13:15:16

ポイント60pt

他の人もお答えしているように、重解とは重なった解が二つ以上あることです。

大学受験では、最高で三重解か四重解までしか出てきません。

あくまでで受験ではの話ですが、私の経験では、

単に「重解」と表現されたときは、ほぼ二重解を指していました。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

よろしければ、コメント欄の追加質問に回答をいただけませんか?

2008/12/15 13:28:16
id:idetky No.6

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/15 15:23:41

ポイント100pt

方程式というのは、基本的に複数の関数の交点・共有点の座標を求めているということです。

たとえば、

x^2+8x-2=0

で求まるのは、「この方程式の解」と表現できますが

y=x^2+8x-2

y=0

の「交点・共有点のx座標」を求めていることと同じです。

またこれは

y=x^2+8x

y=2

の「交点・共有点のx座標を求めている」と考えても同じです。

そのため、

解の個数⇔交点・共有点の個数

となっています。

id:massa-will

再回答をありがとうございます。

よろしければ、下のコメントについて言及ください。

たびたびですみませんm(__)m

2008/12/15 16:10:42
  • id:massa-will
    追加質問
    質問文が言葉足らずでした。すみません。
    できれば、掲載の解答例での「D=0のとき 解1つ」というところについて言及いただけませんか?
  • id:urony


    本来、二次方程式は実数2こ、又は虚数2個の解をもちます。
    方程式x^2=0の解はx=0ですが、解が2こであるということを意識すれば、x=0,0とかけます。


    y軸と方程式のグラフが接しているので、本来なら解が2つある二次方程式の解が、(二つといえるんだけど)1種類しかないということです。
    二つの解が重なって一つになるので、重解と呼ばれます。

    「D=0のとき 解1つ」というのは解が1種類ということです。
    このとき、方程式のグラフとy軸は接しています。
  • id:massa-will
    uronyさん、idetkyさん、再回答をありがとうございます。


    回答者のみなさんへ

    ベストではありませんが別の例題を下にリンクします。
    http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081215155040
    この例題では、解の個数で場合わけがされています。
    そのうち[1]は、解の個数が2つの場合として考えていると思います。
    この場合分けの基準とはじめに載せた例題のそれは違うもののように思え、
    矛盾を感じます。どのように考えれば矛盾なく、すっきりするのでしょうか?

    PS というふうに書きつつ、文字通り、場合分けの基準が違うだけなのかもしれないと
    思ったりします。つまり、一方は、解の種類として、もう一方は根として。。?
  • id:idetky
    最初の問題と二番目に出された問題は違うように見えますが、
    考え方は一緒です。

    それは、
    定められたxの範囲の中で、二つの関数(y=0などの軸も関数と考える)の交点の個数を考える
    ということです。

    最初の例題では、xの範囲に限定がないので、判別式がそのまま二つの関数の交点(もしくは一つの関数とx軸との交点)の数になります。

    次の例題では、xの範囲に限定があるため、判別式をそのまま利用することが出来ません。

    xの範囲に限定がある場合は解説にあるように【1】~【3】の3つに場合わけして求めます。
    この際【1】でしか判別式が利用されていませんが、これは【2】や【3】で利用している条件(例えばf(1)f(-1)<0)というのは交点・接点が必ず1つはあることが前提すでに含まれている式なので、【判別式で交点があるという条件】を自動的に満たしているため、【2】、【3】では判別式を使用していません。
  • id:massa-will
    idetkyさん
    たびたびの回答をありがとうございます。
    いただいた回答をこのあと勉強して、理解を深めたいと思います。
  • id:idetky
    根と解についてはあまり深く考えないほうが身のためです。

    というか、解法を考えるとき「根」とか「解」で考えることでなにかが導きやすくなったり、考えやすくなったりはしないと思います。
  • id:massa-will
    はい。考えすぎないように、ほどほどに考えてみます。
    ありがとうございます。
  • id:rsc96074
    >自分の勘で解と根のどちらを聞いているのかを判断するしかないように思えます。これは不安なことです。判断基準はないのでしょうか?例えば、今回掲載の問題文ではどう判断しますか?

     前掲URLの最後のとこ、
    >教科書自身が間違っているところなので,使い分けなければならない,とまで高校生諸君には言えない.青空学園で学んだ人はそれをおさえたうえで,実際の入試問題などでは出題者の使い方にあわせておいてよい.入試問題を解くというのは,出題者の問いに答えるということだから,出題者以上に厳格である必要はない.

     解は集合的に考えている言葉で、「解の公式」や「解と係数の関係」は間違った使い方のようです。本当は、「根の公式」や「根と係数の関係」が正しいようです。

    >ただ大学生になって代数学を習えばそこでは「解」と「根」が使い分けられている。

     あまり心配しなくていいです。集合的に見るときは、「解」、代数的に見るときは、「根」でいいのではないでしょうか。
  • id:massa-will
    はい。問題の分類を自分なりにしておこうと思います。
    しかしながら、解と根のお話はかなり有益なものだったと思います。
    問題を理解するうえでとても助けになりました。ありがとうございます。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/12/15 21:57:07
    2次式ですので、一般的には1つの実数の2重根(解)です。
    虚根(解)は(2)重解には入れないとおもいます。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/12/15 22:59:51
    2次式は2つの異なる実数解(実根)、1つの2重根(実数解)、実数部が等しい2つ(一組)の共役な複素数解(虚根)のいずれかになります。普通それを「解の数は2、1、0のいずれか」とあらわします。
    3次式には必ず1つ以上の実数解が存在します。あとの2つ分は2次式で述べた通りです。
    ただ、1つの3重根(実数解)と言うことも有ります。だから3つの実数解、1つの3重根、1つの2重根(実数解)と別の1つの実数解、1つの実数解と2つ(1組)の共役複素数解、になります。「解の数は3,2,1です」
    4次式になると、4重根(実数解)が有ったり、2つの2重根(実数解)、1つの2重根(実数解)と異なる2つの実数解、4つの実数解、4つの(2組の)複素数解、1つの2重根(実数解)と(1組の)共役複素数解、異なる2つの実数解と(1組の)共役複素数解、になりかなり複雑です、ただし3重根(実数解)は有りません。
    5次式になりますともっと複雑ですが、奇数(1,3,5,7)次式の特徴として必ず1つ以上の実数解が存在します。
    解の数がややこしくなりましたが、(重解でない)実数解を1、重解をその重なり数、虚根(複素数解)も別々に数えた場合、「1次式は1個、2次式は2個、・・・n次式はn個の解が存在する」と言えます。
    さて、どちらが分かりやすいのでしょう。

  • id:massa-will
    終了後にもかかわらず、コメントをありがとうございます。勉強になります。

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