ある企業または個人から、民事訴訟を提起されたとします。

http://law.e-gov.go.jp/htmldata/S21/S21KE000.html

原則問題ありません(下記日本国憲法第八十二条より引用)

第八十二条 　裁判の対審及び判決は、公開法廷でこれを行ふ。
○２ 　裁判所が、裁判官の全員一致で、公の秩序又は善良の風俗を害する虞があると決した
場合には、対審は、公開しないでこれを行ふことができる。
但し、政治犯罪、出版に関する犯罪又はこの憲法第三章で保障する国民の権利が問題と
なつてゐる事件の対審は、常にこれを公開しなければならない。 

つまり、裁判所が「公開してはいけない」と言われなければ公開しても構いません。

かつ、あなたが行っている裁判を傍聴させないようにすることも出来ませんし、

判決は公開されていて、事件番号がわかれば簡単に検索出来ます。

(例えば、下記のURLとか)

http://www.courts.go.jp/saisinhanrei.html

そのことにより、会社に不利益がもたらせると確定すれば更に発展しますね・・・。

また、訴えられることになります。

ただ、訴えられたとのことですが、相手が完全に勝利するという内容でしたら

また、提携先の企業などがそれを目にしてマイナスイメージをもたない内容でしたら構わないかも。

企業は個人と違いますからね・・・。

とある弁護士さんも、今訴えられていますという内容を

自身のブログで公開していますから・・・。

こんな書類を提出した、相手の意見はこの部分が釈然としないといったような・・・。

id:dev_zer0 さんが紹介しているのは「憲法」であり、国の義務を定めたものです。

また、民事訴訟法第91条には、下記のように記されています。

第91条　何人も、裁判所書記官に対し、訴訟記録の閲覧を請求することができる。【則】第33条

２　公開を禁止した口頭弁論に係る訴訟記録については、当事者及び利害関係を疎明した第三者に限り、前項の規定による請求をすることができる。

３　当事者及び利害関係を疎明した第三者は、裁判所書記官に対し、訴訟記録の謄写、その正本、謄本若しくは抄本の交付又は訴訟に関する事項の証明書の交付を請求することができる。

４　前項の規定は、訴訟記録中の録音テープ又はビデオテープ（これらに準ずる方法により一定の事項を記録した物を含む。）に関しては、適用しない。

この場合において、これらの物について当事者又は利害関係を疎明した第三者の請求があるときは、裁判所書記官は、その複製を許さなければならない。

５　訴訟記録の閲覧、謄写及び複製の請求は、訴訟記録の保存又は裁判所の執務に支障があるときは、することができない。

以上、いずれも国（司法権）が公開することを義務づけている条文であり、当事者が裁判内容を公開することを妨げる条文があるかどうか分かりません。

ただ、実際に公開してしまうと、相手のプライバシー権の侵害に当たる可能性があります。裁判所の公式記録と一言一句同じ内容を公開するなら言い訳しようもありますが、少しでも違うと、名誉毀損に当たる恐れもあります。