<問題・解答例>

式と証明
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081217182352
<質問>
(2)です。よろしくお願いします。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081217182653

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/18 12:13:45
  • 終了:2008/12/18 15:00:34

ベストアンサー

id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/18 14:42:21

ポイント100pt

さて、どこでまちがっているかを順を追ってみていき迷う


|a|>0 かつ|b|>0 ⇔ -1<a<-1 かつ -1<b<-1</p>


ここはおっけー。

しかし。

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1⇔ -2<a+b<2 かつ -2<a-b<2</li>

は間違いです。

これは、図を見てみるとわかります。


a-b軸のグラフを考えてみてください。

その中で、

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1</li>

とうのは、四点

A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1)・・・・①

で囲まれた範囲です。

つぎに、

  • 2<a+b<2 かつ -2<a-b<2</li>

というのはどのような範囲でしょうか。

これは、四点

A'(2,0),B'(0,-2),C'(-2,0),D'(0,2)・・・・②

で囲まれた範囲です。


ここで、⇔というのはまったく同じである事を意味してますよね。

①の範囲と②の範囲は同じですか?

いや違います。


実際、①の範囲は②の範囲の中に入っていますよね。

つまり、

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1 ⇒ -2<a+b<2</li>

とか

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1 ⇒ -2<a-b<2</li>

はいえても、

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1⇔ -2<a+b<2 かつ -2<a-b<2</li>

とはいえないわけです。

id:massa-will

とてもわかりやすく、すばらしいです。ありがとうございます。

2008/12/18 14:55:52

その他の回答(1件)

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/12/18 12:44:50

ポイント30pt

こんにちは。


まず結論から申し上げますと、式の変型自体は間違いではないです。

問題を解答するにはこの方法では不十分というだけです。


例えば、

2<4

5<10

ですから、同様の変型で

7<14

と変形できますし正しいですが、この方法では

7<8

を言うことはできないというだけです。

id:massa-will

若干足りなかったかもしれませんが、しかしながら、ありがとうございます。

2008/12/18 14:59:17
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/18 14:42:21ここでベストアンサー

ポイント100pt

さて、どこでまちがっているかを順を追ってみていき迷う


|a|>0 かつ|b|>0 ⇔ -1<a<-1 かつ -1<b<-1</p>


ここはおっけー。

しかし。

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1⇔ -2<a+b<2 かつ -2<a-b<2</li>

は間違いです。

これは、図を見てみるとわかります。


a-b軸のグラフを考えてみてください。

その中で、

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1</li>

とうのは、四点

A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1)・・・・①

で囲まれた範囲です。

つぎに、

  • 2<a+b<2 かつ -2<a-b<2</li>

というのはどのような範囲でしょうか。

これは、四点

A'(2,0),B'(0,-2),C'(-2,0),D'(0,2)・・・・②

で囲まれた範囲です。


ここで、⇔というのはまったく同じである事を意味してますよね。

①の範囲と②の範囲は同じですか?

いや違います。


実際、①の範囲は②の範囲の中に入っていますよね。

つまり、

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1 ⇒ -2<a+b<2</li>

とか

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1 ⇒ -2<a-b<2</li>

はいえても、

  • 1<a<-1 かつ -1<b<-1⇔ -2<a+b<2 かつ -2<a-b<2</li>

とはいえないわけです。

id:massa-will

とてもわかりやすく、すばらしいです。ありがとうございます。

2008/12/18 14:55:52
  • id:i_kumagoro
    massa-willさんの解答では
    -1 < a < 1, -1 < b < 1
    より
    -2 < a + b < 2, -2 < a - b < 2
    と書かれていますが、この「より」はidetkyさんが指摘されているように「⇔」の意味で書かれたのでしょうか?
    私は「⇒」の意味だと(後の「よって」についても)読みましたし、多分yo-kunさんもそう思われたのではないでしょうか。
  • id:yo-kun
    私の意図はそうですね。
    -1<a<1かつ-1<b<1ならば-2<a+b<2といえるし
    -1<a<1かつ-1<b<1ならば-2<a-b<2といえる。
    この議論自体はどこも間違ってないと言いたかっただけです。
  • id:urony
    確かにそうですね。「より」「よって」は、通常「⇒」の意味だと思います。
    massa-willさんの解答に誤ったところはないけど、答えを導くまでには至らない考え方であるということだと思います。
    更に簡単にすると、|a+b|+|a-b|≦|a|+|b|+|a|+|-b|<1+1+1+1<4 といっているのと同じです。
    こういう簡単な変換で解ける問題もありますが、ここではもう少し範囲を狭めることを求められているので、平方して比較しているのでしょう。
  • id:rsc96074
    考えやすくするように(最大値をもつように問題を作りかえてみると)|a+b|≦2として、最大値2をとるときのa,bの値は、a=b=1
    このとき、a-b=1-1=0
    P=|a+b|+|a-b|=|1+1|+|1-1|=2
    |a+b|の最大値を与えるa,bの値(1,1)と|a-b|の最大値を与えるa,bの値(1,-1)が違っているからではないでしょうか。

  • id:massa-will
    みなさん
    コメントをありがとうございます。
    自分の答案の書き方で、yo-kunさんに勘違いをさせてしまいました。
    yo-kunさん、すみませんでした。みなさんからのコメントから、用語の使い方についても、
    この問題についてもより深い理解ができました。自分視点ですが、経緯の是非は兎も角、
    あやふやのところが出てきてよかったと安堵しています。重ねて、ありがとうございます。

    PS 昨日から少し忙しく、いまコメントを読ませていただいたところです。
    遅れまして、すみませんでした。

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