thunderbirdの設定で自分にccやbccする方法もあると思うのですが、それだとMLに送った場合など、MLからのメールが受信トレイに残らないのでＮＧです。
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もしかしたら、送信メールアカウントは@gmailではなく、ほかの個人（会社）のアカウントですかね？
たとえば hoge@hogehoge.com で送信するのであれば、
そのアカウント（hoge@hogehoge.com）の設定で
「コピーと特別なフォルダ」で「コピー」の設定を
「その他のフォルダを指定して保存」で[Gmail][送信済みメール]に指定してみてはいかがですかね？
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このアドオン使ってるのですが、[Gmail][送信済みメール]に残りませんね。。。