<問題・解答例>

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081227121056
<質問>
2点ありますが、メモの通りです。わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/27 12:16:27
  • 終了:2008/12/27 16:01:06

ベストアンサー

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/27 13:15:00

ポイント180pt

こんにちは。まず(2)の解き方を説明してから、質問に答えます。


自分ならこの問題は以下のようにして考えてゆきます。



|p↑|≧|q↑|かぁ。ベクトルの長さを比較するなら、2乗の形にすると証明しやすい((a↑・a↑)=|a↑|^2 だし)から、

|p↑|^2 - |q↑|^2 ≧0を証明することにしよう。



|p↑+ q↑|^2 = |p↑|^2 - |q↑|^2 ・・・・(a)

か、

|p↑- q↑|^2 = |p↑|^2 - |q↑|^2 ・・・・(b)

が証明できないかなぁ。

そうすれば左辺≧0なのは自明だから楽なのになぁ



(a)が成り立つためには、

2p↑・ q↑ = - 2|q↑|^2 ・・・・(a')

(b)が成り立つためには、

2p↑・ q↑ = 2|q↑|^2  ・・・・(b')

の証明が必要だ。。



(a')、(b')はそれぞれ

(a')⇔(p↑ + q↑)・q↑ = 0

(b')⇔(p↑ - q↑)・q↑ = 0

が証明できればいい。。

(1)で(p↑ - q↑)の形が出てきていたから、(b')を考えてみよう!!



q↑ = sa↑ + tb↑ だから、(p↑ - q↑)・q↑は。。。

(p↑ - q↑)・q↑ = (p↑ - q↑)・(sa↑ + tb↑)

= s(p↑ - q↑)・a↑ + t(p↑ - q↑)・b↑

= 0  ((1)より)

おっ!!(b')が証明できる!!



という手順です。これで2番目の質問に答えたことになりますか?

(1)から(2)のとき方を直接推測するのは難しそうですよね。。

そこで(1)の結果から推測して(2)をとくのではなく、

(2)の結果から遡って(1)を利用できる形に変形して行ったのです。



次に1番目の質問です。

ベクトルを両辺にかけていいの?ということですが、これは「両辺にかける」というのがわかりつらいなら、「代入する」と考えてみてはいかがでしょうか。

id:massa-will

こんにちは。

(2)はとてもよく整理されていて、すっきりと理解できました。

(1)については、まだ少しわかりません。代入とはa=(p-q)a, b=(p-q)bとすることですか?

また、一般にベクトルを実数の計算のように両辺にかけるなどしても良いのでしょうか?

2008/12/27 14:11:41
  • id:rsc96074
     c↑=sa↑+tb↑のとき、n↑・c↑を計算すると、第1式をを第2式に代入して、n↑・c↑=n↑・(sa↑+tb↑)
    両辺にn↑をかけたように見えますね?

    CHART 証明問題 結論からお迎えにいく
    CHART |p↑|は|p↑|^2として扱え

    の発想でしょうか?

     問題は正射影の問題のようです。

  • id:idetky
    q↑ = sa↑ + tb↑としたとき、

    (p↑ - q↑)・q↑⇔(p↑ - q↑)・(sa↑ + tb↑)
    と、・q↑のところに、(sa↑ + tb↑)を代入するとわかりやすいかもしれません。

    と書きたかったのです。

    > 実数の計算のように両辺にかけるなどしても良いのでしょうか?

    a↑=b↑ ということならば、
    長さも、(たとえばx軸をからの)角度も同じわけなのですから、
    c↑というベクトルとの内積は必ず同じになります。
    よって、
    a↑=b↑の両辺にc↑をかける(つまり、両辺のベクトルとc↑との内積をとる)としても、
    =は崩れません。
  • id:massa-will
    rsc96074さん
    ありがとうございます。ポイントが見やすくなりました。

    idetkyさん
    とてもよくわかりました。もやもやが消えてすっきりしました。ありがとうございます。

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