<問題・解答例>

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081228114941
<質問>
下のリンクです。わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081228115033

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/28 11:53:25
  • 終了:2008/12/28 14:56:55

ベストアンサー

id:idetky No.4

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/28 13:07:05

ポイント160pt

(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0

で、

x^2 + y^2≧0

なので、

(x-y)(x+y)<0

が必要となる。

おそらく、ここから先の処理を勘違いしていると思います。

(x-y)(x+y)<0

(x-y)<0 かつ (x+y)>0・・・・①

または

(x-y)>0 かつ (x+y)<0・・・・②

と変換でき、さらに、

x<y かつx>-y (-y<x<x)</p>

x>y かつ x<-y (y<x<-y)</p>

となります。


ここで、仮にx>yであっても、同時にx<-yを満たしていれば、

②が成り立ち、(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0も成り立つということは、

x<yという条件は、「十分条件」ではないのはもちろんのこと、</p>

「必要」ですらない

⇔x<yでなくっても(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0がなりたつ</p>

のです。

massa-willさんは、機械的に

(x-y)(x+y)<0

⇔x<y かつx>-y (-y<x<x)</p>

と変形していますが、文字の場合は正負がわからないので、

ちゃんと場合わけをする必要があります。

id:massa-will

すごくわかりやすいです。すんなりと読めました。ありがとうございます。

2008/12/28 14:33:51

その他の回答(4件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/12/28 12:22:06

ポイント100pt

(x-y)(x+y)(x2+y2)<0

ですと、(x2+y2)は必ず正の数なので、

(x-y)(x+y)<0

になります。


従って、ここから導き出されるのは、

(x-y)<0の場合、(x+y)>0

  ⇒ -y<x<y</p>

(x+y)<0の場合、(x-y)>0

  ⇒ -y>x>y

となります。

そのため、必要条件にもならないということになります。


こんな感じでよろしいでしょうか。

id:massa-will

kappagoldさん、お久しぶりです。

とてもよくわかりました。ありがとうございます。

2008/12/28 14:29:00
id:joru_bugu No.2

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62008/12/28 12:40:35

ポイント160pt

x^4 < y^4

⇔(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)<0

⇔(x - y)(x + Y)(x^2 + y^2)<0

まではOKです。x^4 < y^4 から、x=y=0というケースは打ち消されるので、

(x^2 + y^2)>0より、

⇔(x - y)(x + y)<0

となるのですが、

- y < x < y

としてしまうのはまずいです。

(x - 1)(x + 1)<0

ならば、

-1<x<1</p>

と出来ますが、

(x-(-1))(x+(-1)<0

のようにyが負の場合、

-|-1|< x < |-1|

と絶対値を付けなければなりません。そうしないと

1 < x < -1

という不等式が出来上がってしまうのです。よって、

-|y|<x<|y|</p>

が正しい不等式であるため、x<|y| は示されますが、x<y は示されないということです。 </p>

id:massa-will

丁寧な回答で、とてもわかりやすいです。ありがとうございます。

2008/12/28 14:29:50
id:kuro-yo No.3

くろょ回答回数169ベストアンサー獲得回数292008/12/28 12:51:19

ポイント80pt

x^4+y^4 ⇔ (x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0

までは正しいです。

さて、xとyが同時に0でないならば、(x^2+y^2)が正ですので、両辺をこれで割っても不等号の向きは変わりませんから、

(x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0

⇔ (x≠0 かつ y≠0 かつ (x-y)(x+y)<0)または(x=y=0かつ(x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0)

⇔ x≠0 かつ y≠0 かつ (x-y)(x+y)<0

も言えます。したがって、

x^4+y^4 ⇔ x≠0 かつ y≠0 かつ -|y|<x<|y|

を得ます(yの絶対値に注意)。

ここと、質問者さんの最後の式を見比べてもらえば、全く異なっている事がわかります。

この説明で不足の場合は、コメント欄にて。

id:massa-will

とてもよくわかりました。ありがとうございます。

2008/12/28 14:31:11
id:idetky No.4

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/12/28 13:07:05ここでベストアンサー

ポイント160pt

(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0

で、

x^2 + y^2≧0

なので、

(x-y)(x+y)<0

が必要となる。

おそらく、ここから先の処理を勘違いしていると思います。

(x-y)(x+y)<0

(x-y)<0 かつ (x+y)>0・・・・①

または

(x-y)>0 かつ (x+y)<0・・・・②

と変換でき、さらに、

x<y かつx>-y (-y<x<x)</p>

x>y かつ x<-y (y<x<-y)</p>

となります。


ここで、仮にx>yであっても、同時にx<-yを満たしていれば、

②が成り立ち、(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0も成り立つということは、

x<yという条件は、「十分条件」ではないのはもちろんのこと、</p>

「必要」ですらない

⇔x<yでなくっても(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0がなりたつ</p>

のです。

massa-willさんは、機械的に

(x-y)(x+y)<0

⇔x<y かつx>-y (-y<x<x)</p>

と変形していますが、文字の場合は正負がわからないので、

ちゃんと場合わけをする必要があります。

id:massa-will

すごくわかりやすいです。すんなりと読めました。ありがとうございます。

2008/12/28 14:33:51
id:rsc96074 No.5

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982008/12/28 13:26:21

ポイント130pt

 x^4<y^4</p>

∴x^4-y^4<0

∴(x^2-y^2)(x^2+y^2)<0

∴(x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0

x,yは実数だから、x^2+y^2>0

∴(x-y)(x+y)<0

(1)y>0のとき、-y<x<y</p>

(2)y=0のとき、x^2<0となり、不適。

(3)y<0のとき、y<x<-y</p>

id:massa-will

ポイントがつかみやすく、覚えやすい回答です。ありがとうございます。

2008/12/28 14:36:50
  • id:massa-will
    今回はいつもより多くの方から回答をいただけました。ありがとうございます。
    イルカ賞は、悩んだ末にidetkyさんの回答に決めました。わかりやすさでひとつ優っていました。
    idetkyさん、おめでとうございます。
    rsc96074さんの回答は、わかりやすさを保ったまま、そのまま暗記に使えるくらい整理されたもの
    で、特別賞があればなあと思った回答でした。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/12/28 23:53:50
    x<yがx^4<y^4 の必要条件にならない理由

    xの絶対値がYの絶対値より小さければ(つまり|x|<|Y|) x^4<y^4は成り立ちますが
    x=-5、y=-10でも|x|<|Y|です。 ところが X>Yです。

    これはx^2<y^2でもx^10>y^10 でも同じです。偶数乗の時そうなります。
    奇数乗の時は(例として)x^3<y^3ならx<yは必要十分条件になります。



  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/12/29 00:14:52
    xとyの絶対値の大小でx^4とy^4の大小が決まるからxとy自体の大小が逆転する事があるようにコメントしましたが、これはあくまでx、yの大小関係が決まる時のみです。複素数や四元数は絶対値はありますが数値そのものの大小は決められません。だからx<yがx^4<y^4の必要条件にならない事はここでも成り立つわけです。
    厄介なのは「奇数乗の時は(例として)x^3<y^3ならx<yは必要十分条件になります。」はいえません。複素数等のx、yの大小は比較できないからです。この場合は「実数の範囲」と考えてください。
  • id:massa-will
    yamadakouziさん
    絶対値と累乗の大小は整理しにくいと感じていたところで、
    そこのところも少し整理ができて、よかったです。
    終了後にもかかわらず、ありがとうございます。

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