＜質問＞

質問の意図と合っていればいいのですが････。

両式とも、（x,y）＝（0,0）を通る基本の式がありますので、原点であると考えるのは正しいと思います。

単純に、その点（0,0）をつまんで、（p、q）にドラッグすると移した先の式が、y=f（x）から、y-q=f（x-p）となるという感じです。

（直線ですので想像しにくいかもしれませんが、1次式にも原点を考えると、原点（0、0）を（p、q）に移した図形と考えます）

また、双曲線のように原点を通らないけれども原点という考え方が使える図形は、原点（0,0）を（p、q）に移したら、y=f（x）から、y-q=f（x-p）へかわるという考え方が共通して使用できます。

高校の範囲は、きちんと把握できていないのですが、3次式以上のものや円、双曲線など大体の図形の式はこの考え方が使えると思います。

また、3次元の立体の式、例えば、3次元であらわされた直線や球などの式の場合にも、（0,0,0）を（p、q、r）に移したと考えて、応用できます。

f(x)+g(y)+h(z)=0　で表される図形は、f(x-p)+g(y-q)+h(z-r)=0　

となります。

まず、

y=ax^2

という放物線のaを「ひらき」という言い方が正しいとするなら、

massa-willさんの考えた式でオッケーですよ。

ただし「ひらき」というのが問題文に直接かかれることはないので、

自分なら「点（p,q）を通る放物線ｍを～とし、、」という

書き方で解答欄では利用しますね。

受験生のころ自分もいろいろな直線や曲線を簡単に表せないかと、

いろいろ工夫した記憶があります。

ax+by+c=0に垂直で（p,q)を通る直線の式

とかです。

ちなみに結構役立ったのは、

三点(a1,b1) (a2,b2) (a3,b3)で囲まれる三角形の面積の公式です。

これは、どの点からでもOKですが、順番に三点の（ｘ、ｙ）を縦に並べ、最後にもう一度最初の点の（ｘ、ｙ）を書きます。

こんな感じ。

a1　b1

a2　b2

a3　b3

a1　b1

次に、「斜めにｘとｙをかけた値を、ｙの右に書きます」

つまり、左上のｘ値と右下のｙの値をかけて、右下のｙの値の横にその数字を書くということです。、

a1　b1

a2　b2＝a1×b2

a3　b3＝a2×b3

a1　b1＝a3×b1

今度は、「右上のyの値と左下のxの値をかけて、左下のxの値の横にその数字を書きます。

　　　　a1　b1

a2×b1＝a2　b2＝a1×b2

a3×b2＝a3　b3＝a2×b3

a1×b3＝a1　b1＝a3×b1

次に、それぞれの左辺と右辺の合計を、下に書きます。

（ここでは面倒なので、単純に（左辺合計）、（右辺合計）と書きます）

　　　　　　a1　b1

　　a2×b1＝a2　b2＝a1×b2

　　a3×b2＝a3　b3＝a2×b3

　　a1×b3＝a1　b1＝a3×b1

　 ――――――――――――

　（左辺合計）　　（右辺合計）

そして、（左辺合計）－(右辺合計）の絶対値を２で割ったものが

三点で囲まれた三角形の面積です。

つまり

（三角形の面積）＝ ｜（左辺合計）―（右辺合計）｜／２・・・※

用は、外積を使っただけなのですが、

自分はこれを中学生のときにならい、

（三角形の面積の公式より）ともっともらしい名前をつけて、

※の計算式だけは書き込んで利用していました～＾＾

あっ、これ、図形の式じゃないかｗ

一つ一つ見ていきます。

> 点(p,q)が原点を移動した点という条件がなく、全くの任意の点である場合に、この点を通る直線は別紙のように単純に表せるが、放物線のほうはそのようにはいかない。

そのとおりですね。。＾＾；

点（２，８）を通る放物線には、もちろん

Ｙ－８＝２（ｘ－２）＾２　もありますし、

Ｙ＝２Ｘ＾２もありますよね。。

> この考えは合っていますか？

というわけで、そのとおりです。

> また、別の図形で直線のように簡単に式をつくれるものは

ありませんか？

ちょっと想像つきません。

イメージとして、定点を通る直線は

「定点で固定した棒をぐるぐる回す」⇒傾きを変える

というだけで、「自由度」みたいなものは１ですが、

２次関数⇒「ひらき」具合もあるし、「ひらき」具合が一定でも、Ｙ－８＝２（ｘ－２）＾２　と　Ｙ＝２Ｘ＾２みたいなものもあるので、「自由度」みたいなものもが２以上ありそうだから、

なかなか簡単には行きそうにも無い気がします。

すみません。。数学的じゃなくて＾＾；