<質問>

図形の式
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090110113509
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/01/10 11:54:55
  • 終了:2009/01/10 18:39:06

ベストアンサー

id:ann-kashin No.4

ann-kashin回答回数1ベストアンサー獲得回数12009/01/10 17:12:02

ポイント150pt

y=m(x-p)+qはy=mxを(0,0)から(p,q)に平行移動したものです。

当然y=mxは(0,0)を通るので、平行移動したy=m(x-p)+qは(p,q)を通ります。

同様の考え方を2次関数にあてはめてみると

y=m(x-p)^2+qはy=mx^2を(0,0)から(p,q)に平行移動したものです。

y=mx^2は頂点(0,0)を通るので、平行移動したy=m(x-p)+qは頂点(p,q)を通ります。

(p,q)を通る放物線はy=m(x-p)+qだけではありません。

y=m(x-p)+qの頂点は(p,q)なので当然(p,q)を通りますが、

頂点が(p,q)以外の関数でも、(p,q)を通ることがあります。

そこで平行移動以外のアプローチで考えます。

簡単のために一次関数からやっていきます。

直線の式は

y=mx+n

です。mは傾きで、nは切片です。

グラフに直線を描写するにはmとnを決めて

やらなければなりません。

mとnを決めるには(自分で勝手に決めるか)

ある制約条件から解いてやる必要があります。

ここでの制約条件は(p,q)を通るということです。

まず、x,yにp,qを代入するとmとnの関係式がもとまります。

q=mp+n

n=q-mp

これを

y=mx+nに代入すると

y=mx+q-mp

=m(x-p)+q

となり、平行移動したときと同じ式になります。

(mの値を決めるには2点を通るという制約条件が必要になります。)

次に2次関数で考えます。

一般的には2次関数は

y=ax^2+bx+c

とあらわせます。

a,b,cがもとまればグラフに描写できるわけですが

(p,q)を通るという制約条件からa,b,cの関係式がもとまります。

y=ax^2+bx+cにp,qを代入すると

q=ap^2+bq+c

a=(q-bq-c)/p^2

これをy=ax^2+bx+cに代入すると

y=(q-bq-c)x^2/p^2+bx+c

になります。

(b,cの値を決めるには3点を通るという制約条件が必要になります。)

この式は平行移動したときの式とは異なります。

このような方法を3次関数、4次関数と高次の関数で考えても

平行移動の式と一致することは無いと思われます。

結論としては、(0,0)から(p,q)に平行移動した場合と

(p,q)を通る式が一致するのは1次関数のみであると

考えられます。

id:massa-will

大変に丁寧な回答をくださり、ありがとうございます。とても勉強になりました。

2009/01/10 18:33:53

その他の回答(3件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482009/01/10 12:15:51

ポイント80pt

質問の意図と合っていればいいのですが・・・・。


両式とも、(x,y)=(0,0)を通る基本の式がありますので、原点であると考えるのは正しいと思います。


単純に、その点(0,0)をつまんで、(p、q)にドラッグすると移した先の式が、y=f(x)から、y-q=f(x-p)となるという感じです。


(直線ですので想像しにくいかもしれませんが、1次式にも原点を考えると、原点(0、0)を(p、q)に移した図形と考えます)


また、双曲線のように原点を通らないけれども原点という考え方が使える図形は、原点(0,0)を(p、q)に移したら、y=f(x)から、y-q=f(x-p)へかわるという考え方が共通して使用できます。

高校の範囲は、きちんと把握できていないのですが、3次式以上のものや円、双曲線など大体の図形の式はこの考え方が使えると思います。


また、3次元の立体の式、例えば、3次元であらわされた直線や球などの式の場合にも、(0,0,0)を(p、q、r)に移したと考えて、応用できます。

f(x)+g(y)+h(z)=0 で表される図形は、f(x-p)+g(y-q)+h(z-r)=0 

となります。

id:massa-will

>質問の意図と合っていればいいのですが・・・・。

質問文がわかりにくく、すみません。

コメント欄に改めますので、再度の回答をお願いできますか?

2009/01/10 15:23:56
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/01/10 13:08:33

ポイント50pt

まず、

y=ax^2

という放物線のaを「ひらき」という言い方が正しいとするなら、

massa-willさんの考えた式でオッケーですよ。

ただし「ひらき」というのが問題文に直接かかれることはないので、

自分なら「点(p,q)を通る放物線mを~とし、、」という

書き方で解答欄では利用しますね。

受験生のころ自分もいろいろな直線や曲線を簡単に表せないかと、

いろいろ工夫した記憶があります。

ax+by+c=0に垂直で(p,q)を通る直線の式

とかです。

ちなみに結構役立ったのは、

三点(a1,b1) (a2,b2) (a3,b3)で囲まれる三角形の面積の公式です。

これは、どの点からでもOKですが、順番に三点の(x、y)を縦に並べ、最後にもう一度最初の点の(x、y)を書きます。

こんな感じ。

a1 b1

a2 b2

a3 b3

a1 b1

次に、「斜めにxとyをかけた値を、yの右に書きます」

つまり、左上のx値と右下のyの値をかけて、右下のyの値の横にその数字を書くということです。、

a1 b1

a2 b2=a1×b2

a3 b3=a2×b3

a1 b1=a3×b1

今度は、「右上のyの値と左下のxの値をかけて、左下のxの値の横にその数字を書きます。

    a1 b1

a2×b1=a2 b2=a1×b2

a3×b2=a3 b3=a2×b3

a1×b3=a1 b1=a3×b1

次に、それぞれの左辺と右辺の合計を、下に書きます。

(ここでは面倒なので、単純に(左辺合計)、(右辺合計)と書きます)

      a1 b1

  a2×b1=a2 b2=a1×b2

  a3×b2=a3 b3=a2×b3

  a1×b3=a1 b1=a3×b1

  ――――――――――――

 (左辺合計)  (右辺合計)

そして、(左辺合計)-(右辺合計)の絶対値を2で割ったものが

三点で囲まれた三角形の面積です。

つまり

(三角形の面積)= |(左辺合計)―(右辺合計)|/2・・・※

用は、外積を使っただけなのですが、

自分はこれを中学生のときにならい、

(三角形の面積の公式より)ともっともらしい名前をつけて、

※の計算式だけは書き込んで利用していました~^^

あっ、これ、図形の式じゃないかw

id:massa-will

すみません。質問がわかりにくかったです。

面積の公式、役に立ちそうですね。有益なテクニックをありがとうございます。

2009/01/10 15:31:03
id:idetky No.3

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/01/10 15:51:34

ポイント100pt

一つ一つ見ていきます。

> 点(p,q)が原点を移動した点という条件がなく、全くの任意の点である場合に、この点を通る直線は別紙のように単純に表せるが、放物線のほうはそのようにはいかない。

そのとおりですね。。^^;

点(2,8)を通る放物線には、もちろん

Y-8=2(x-2)^2 もありますし、

Y=2X^2もありますよね。。

> この考えは合っていますか?

というわけで、そのとおりです。

> また、別の図形で直線のように簡単に式をつくれるものは

ありませんか?

ちょっと想像つきません。

イメージとして、定点を通る直線は

「定点で固定した棒をぐるぐる回す」⇒傾きを変える

というだけで、「自由度」みたいなものは1ですが、

2次関数⇒「ひらき」具合もあるし、「ひらき」具合が一定でも、Y-8=2(x-2)^2 と Y=2X^2みたいなものもあるので、「自由度」みたいなものもが2以上ありそうだから、

なかなか簡単には行きそうにも無い気がします。



すみません。。数学的じゃなくて^^;

id:massa-will

>すみません。。数学的じゃなくて

いえいえ、イメージがわきます。

これで考えをはっきりさせることができて、ほっとしました。ありがとうございます。

2009/01/10 18:37:54
id:ann-kashin No.4

ann-kashin回答回数1ベストアンサー獲得回数12009/01/10 17:12:02ここでベストアンサー

ポイント150pt

y=m(x-p)+qはy=mxを(0,0)から(p,q)に平行移動したものです。

当然y=mxは(0,0)を通るので、平行移動したy=m(x-p)+qは(p,q)を通ります。

同様の考え方を2次関数にあてはめてみると

y=m(x-p)^2+qはy=mx^2を(0,0)から(p,q)に平行移動したものです。

y=mx^2は頂点(0,0)を通るので、平行移動したy=m(x-p)+qは頂点(p,q)を通ります。

(p,q)を通る放物線はy=m(x-p)+qだけではありません。

y=m(x-p)+qの頂点は(p,q)なので当然(p,q)を通りますが、

頂点が(p,q)以外の関数でも、(p,q)を通ることがあります。

そこで平行移動以外のアプローチで考えます。

簡単のために一次関数からやっていきます。

直線の式は

y=mx+n

です。mは傾きで、nは切片です。

グラフに直線を描写するにはmとnを決めて

やらなければなりません。

mとnを決めるには(自分で勝手に決めるか)

ある制約条件から解いてやる必要があります。

ここでの制約条件は(p,q)を通るということです。

まず、x,yにp,qを代入するとmとnの関係式がもとまります。

q=mp+n

n=q-mp

これを

y=mx+nに代入すると

y=mx+q-mp

=m(x-p)+q

となり、平行移動したときと同じ式になります。

(mの値を決めるには2点を通るという制約条件が必要になります。)

次に2次関数で考えます。

一般的には2次関数は

y=ax^2+bx+c

とあらわせます。

a,b,cがもとまればグラフに描写できるわけですが

(p,q)を通るという制約条件からa,b,cの関係式がもとまります。

y=ax^2+bx+cにp,qを代入すると

q=ap^2+bq+c

a=(q-bq-c)/p^2

これをy=ax^2+bx+cに代入すると

y=(q-bq-c)x^2/p^2+bx+c

になります。

(b,cの値を決めるには3点を通るという制約条件が必要になります。)

この式は平行移動したときの式とは異なります。

このような方法を3次関数、4次関数と高次の関数で考えても

平行移動の式と一致することは無いと思われます。

結論としては、(0,0)から(p,q)に平行移動した場合と

(p,q)を通る式が一致するのは1次関数のみであると

考えられます。

id:massa-will

大変に丁寧な回答をくださり、ありがとうございます。とても勉強になりました。

2009/01/10 18:33:53
  • id:idetky
    あっ、、、、寝ぼけ眼で書き込みしてました。。orz

    「表せないと思います」ですか。。^^;
    「表せると思います。」という意見だと思って書き込みしました。

    ⇒上の書き込みでいいたいことは「表せます」ということで変わりませんが。^^;
  • id:massa-will
    質問がわかりにくいため、以下に補足します。

    点(p,q)が原点を移動した点という条件がなく、全くの任意の点である場合に、
    この点を通る直線は別紙のように単純に表せるが、放物線のほうはそのようにはいかない。
    この考えは合っていますか?また、別の図形で直線のように簡単に式をつくれるものは
    ありませんか?

    よろしくお願いします。
  • id:rsc96074
     原点というよりは、頂点の方がいいかも。それから、放物線の表し方には、次のようなものがありました。
    ●軸がy軸に平行な放物線のおもな表し方
    (1)一般形 y=ax^2+bx+c
    (2)x軸と(α,0),(β,0)で交わるとき y=a(x-α)(x-β)
    (3)x軸と(α,0)で接するとき y=a(x-α)^2
    (4)頂点が(p,q)のとき y=a(x-p)^2+q

    ・「モノグラフ公式集」
    http://www.amazon.co.jp/%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86-%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95-%E7%9F%A2%E9%87%8E-%E5%81%A5%E5%A4%AA%E9%83%8E/dp/4894281635/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1231611607&sr=8-1

     それから、下記URLの例3のエレガントな解法も面白いです。
    http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomial/multiequation.htm

  • id:rsc96074
     そういえば、平面で3点の作る三角形の面積の公式といえば、次のものがあります。
    ●3点の作る三角形の面積
    3点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)の作る三角形の面積S
    |x1 y1 1|=Dとして、
    |x2 y2 1|
    |x3 y3 1|
    (ただし、Dが右辺にあるのは、画面が乱れるのを防ぐため、本当は左辺に置きたい)
    |x2-x1 y2-y1|=D
    |x3-x1 y3-y1|

    S=(1/2)|D| ←絶対値

    ※3点の共線条件D=0

  • id:massa-will
    終了後にもありがとうございます。大変、勉強になります。

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