<問題・解答例>

高校数学の極限
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090123112121
<質問>
なぜn≧3とするのかわかりません。
以前にも類似の質問(下記リンク)をして、その3番の回答をお手本に考えるのですが、
うまく応用できずにいます。わかりやすく教えてください。お願いします。
http://q.hatena.ne.jp/1228444800

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/01/24 10:53:34
  • 終了:2009/01/24 17:05:31

回答(3件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482009/01/24 11:39:51

ポイント27pt

お久しぶりです。


これは、

n=1の時には

(1+1)^n=1+n

n=2の時には

(1+1)^n=1+n+1/2n(n-1)

となるので、

n≧3にしないと、1/6n(n-1)(n-2)が出てこないためです。


頑張ってくださいね。

id:massa-will

お久しぶりです。回答に加えて、励ましまでくださり、ありがとうございます。

>1/6n(n-1)(n-2)が出てこないため

どうして出てこないとマズイのですか?

2009/01/24 12:55:34
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/01/24 13:45:29

ポイント100pt

こんにちは。。^^

> どうして出てこないとマズイのですか?

に対する回答です。

適当なcの値を使って

n^2/2^n < c/nを導く

適当なcの値を見つけて

n^3/c < 2^nの形を証明して導く

この形で、適当なcと言ったら、

当然c=6として二項定理をつかって解く例の問題だ!

と、当然瞬時に解放が思いつくべき問題ですね。


すると、

n^3/6 < n^3/6 + 5n/6 + 1 = 1 + n + n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/6 ≦ (1+1)^n = 2^n

1 + n + n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/6 ≦ (1+1)^n

の部分が必要になります。

つまり、1/6n(n-1)(n-2)を導き出さないとこの式が出てきません。

→1/6n(n-1)(n-2)を導き出さないと解答を導き出せないからです。

id:massa-will

こんにちは。

2番目の枠内で、n^3/6+5n/6+1 が 1+n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6 より先にきています。

n^3/6+5n/6+1 はどのように算出されたのですか?それとも、暗記すべきものなのでしょうか?

教えてください。

2009/01/24 15:48:37
id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4380ベストアンサー獲得回数3982009/01/24 13:58:49

ポイント100pt

 こういう場合、逆向きに考えてみるといいです。

n^2<c/nが欲しい。</p>

nは正だから、

n^3/c<2^n すなわち、2^n>n^3/cが導けたらいい。

 というわけで、n^3の項が出てくるn≧3まで必要になります。

id:massa-will

はっとしてしまいました。

とてもよくわかりました。ありがとうございます。

2009/01/24 15:41:05
  • id:rsc96074
    >n^2<c/nが欲しい。
     n^2/2^n<c/nの間違いです。すみません。

  • id:massa-will
    大丈夫です。本意は十分つかめました^^
    いつもありがとうございます。
  • id:idetky
    > n^3/6+5n/6+1 はどのように算出されたのですか?それとも、暗記すべきものなのでしょうか?

    この場合、

    > n^3/6+5n/6+1

    はもちろん暗記する必要はありませんが、

    n^3/c < 2^n

    の形を見たら、
    「ああ!あの二項定理の形で解けるのでは?」
    と条件反射的にひらめくべきだと思います。
  • id:massa-will
    では、やはり1+n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6 からn^3/6+5n/6+1 を導いているのですね。
    よくわかりました。ありがとうございます。
  • id:YAMADAMAY
    やまだまや(真優) 2009/01/25 11:57:36
    私は極限値を求める問題のときは、適当に大きい数値(100とか)次にもう少し大きい数値(その100倍位)そして、極端に大きい数値(10億とか)を当てはめてみます。そうそれば極限値は予想できます。もし無理数や、超越数になりそうならば、改めて詳しく分析・計算をします。
    問題のnが整数ならば、0、1、2、3・・・と代入してみれば3以上でなければ収束しない(つまり極限値がない)ことがわかると思います。{n≧3}は(一般的な)解き方の例での条件であって、本来の問題「極限値を求めよ」では絶対的条件ではありません。
  • id:massa-will
    終了後にもかかわらず、アドバイスをくださり、ありがとうございます。
    今後に役立てたいと思います。

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