高校数学の質問です。


http://pub.idisk-just.com/fview/qTXX5emK7xt1jJFhX0tr7xTDNHG0PK0wlI9CJ5y6ZvlxsL4pN07lrBi1dvq9ZggZ/MQ.JPG
-(π/2)<x<π/2 における
4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2
の大小関係を説明つき(途中計算つき)で教えてください。

どうぞよろしくお願い致します。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/01/24 22:10:50
  • 終了:2009/01/28 19:06:01

回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4358ベストアンサー獲得回数3982009/01/26 06:35:31

ポイント70pt

 結論から言えば、e^x=exp[x]として、

その範囲では、4/(exp[x]+exp[-x])^2≧(cos[x])^2 ただし、等号はx=0のとき成立。

 下記URLのソフトでグラフを描けば、一発でわかります。

http://www.vector.co.jp/soft/win95/edu/se242927.html

(説明)

f(x)={2/(exp[x]+exp[-x]}^2=(1/cosh[x])^2とおくと、f(-x)=f(x)∴偶関数

ただし、cosh[x]=(exp[x]+exp[-x])/2。面倒なので、以後、これを使いますが、解答のときは元に戻して下さい。

g(x)=(cos[x])^2とおくと、同様に、g(-x)=g(x)∴偶関数

よって、いずれも偶関数でy軸に対して対称だから、0≦x<π/2の範囲だけを調べればよい。

しかも、f(x)≧0、g(x)≧0だから、g(x)/f(x)と1の大小関係を調べれば、f(x)とg(x)の大小関係が分かる。

h(x)=g(x)/f(x)-1とおくと、

h(x)=(cos[x]cosh[x])^2-1=(cos[x]cosh[x]+1)(cos[x]cosh[x]-1)

0≦x<π/2の範囲で(cos[x]cosh[x]+1})≧0だから、(cos[x]cosh[x]-1)の符号を調べればよい。

p(x)=cos[x]cosh[x]-1とおくと、

p'(x)=-sin[x]cosh[x]+cos[x]sinh[x]

ただし、sinh[x]=(exp[x]-exp[-x])/2。面倒なので、以後、これを使いますが、解答のときは元に戻して下さい。

p'(0)=0

p''(x)=-(cos[x]cosh[x]+sin[x]sinh[x])-sin[x]sinh[x]+cos[x]cosh[x]=-2sin[x]sinh[x]

p'(0)=0で、0≦x<π/2の範囲で、p''(x)≦0だから、p'(x)≦0

p(0)=1*1-1=0、p(π/2)=0-1=-1で、0≦x<π/2の範囲で、p'(x)≦0だから、cos[x]cosh[x]-1≦0

したがって、0≦x<π/2の範囲で、g(x)≦f(x)

id:miku1973

ありがとう!

sinhやcoshが高校数学で出てこないのでちょっと厳しかったです。

2009/01/27 18:06:07
id:tiduru0719 No.2

tiduru0719回答回数22ベストアンサー獲得回数02009/01/25 23:02:27

4/(e^x+e^(-x))^2 は双曲線正割関数の2乗になります。sech2(x)ですが計算表表記はsech(x)^2

同じく(cosx)^2はcos(x)^2 とさせていただきました。

  • (π/2)<x<π/2 における</li>

4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2の大小関係は-π/2、0、π/2の3点で同値、それ以外は

常に4/(e^x+e^(-x))^2 > (cosx)^2です。

この程度は実際に計算すればわかります。

ただそれより範囲を広げますとcosx^2はπ/2の周期の関数ですが、4/(e^x+e^(-x))^2は絶対値が大きくなるほど小さくなり+0に収束します。



x          cos(x)^2     sech(x)^2 差

  • π/2   -1.570763 0      0.419974342 -0.419974342
  • 3π/8   -1.17807225 0.146464284 0.596585808 -0.450121524
  • π/4  -0.7853815 0.5      0.786447733 -0.286447733
  • π/8 -0.39269075 0.853559282 0.940014849 -0.086455567

 0   0     1      1      0

π/8  0.39269075 0.853559282 0.940014849 -0.086455567

π/4   0.7853815 0.5      0.786447733 -0.286447733

3π/8   1.17807225 0.146464284 0.596585808 -0.450121524

π/2   1.570763 0     0.419974342 -0.419974342

id:miku1973

>4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2の大小関係は0で同値、それ以外は

>常に4/(e^x+e^(-x))^2 > (cosx)^2です。

 

この理由を質問しているつもりなのですが、頂いた説明からはそれが得られないように思いました。すいません。

2009/01/27 18:14:16

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1 masa138 9 7 0 2009-01-25 02:26:27
  • id:tiduru0719
    tiduru0719 2009/01/26 18:17:14
    回答で、3箇所(-π/2、0、π/2)で値が一致と書きましたが、1箇所(X=0のみ)の書き誤りでした、訂正します。

    -(π/2)<x<π/2 における
    4/(e^x+e^(-x))^2 ≧ (cosx)^2(=が成り立つ時は、x=0の時のみ)
  • id:tiduru0719
    tiduru0719 2009/01/28 21:21:17
    質問内容↓
    -(π/2)<x<π/2 における
    4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2
    の大小関係を説明つき(途中計算つき)で教えてください。

    質問者からの返信↓
    この理由を質問しているつもりなのですが、頂いた説明からはそれが得られないように思いました。すいません。

    どこにも「理由を」という内容は伺えません。書き落としではないですか?

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