確率論に関してお聞きします


カジノのルーレットで36枚あるコインを36回連続でベット(毎回1枚)する際

①1つの同じ数字(36倍)に36回賭ける
②約2分の1のベット(赤黒など 2倍)に36回賭ける

のでは、確率論的に どちらが多くチップが残りますか?
計算方法も教えてください。
運を考慮せずに、数式だけの答えをお願いします。

実際にやってみた感想ですが①のほうが不利なように感じますが、どうしでだかわかりません

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  • 登録:2009/01/29 02:52:26
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回答(6件)

id:ele_dir No.1

ele_dir回答回数263ベストアンサー獲得回数202009/01/29 04:17:26

ポイント19pt

ヨーロピアンスタイルで仮定します。

1.

勝率 1/37 (37ポケットだから、特定のポケットに落ちる確率は、1/37)

勝ち点 36 (ポケットに落ちた時、貰える枚数は、36枚)

以上から、

期待値は、1/37 * 36 = 36/37 (期待値は、1枚掛けて、36/37枚ほど返ってくるという意味)

2.

勝率 18/37

勝ち点 2

期待値:18/37 * 2 = 36/37

以上より、どちらの期待値も同じため、どちらにかけても、不利、有利は無いと思います。

http://q.hatena.ne.jp/answer

id:ls_10_5 No.2

ls_10_5回答回数91ベストアンサー獲得回数42009/01/29 04:40:07

ポイント19pt

カジノのルーレットには1~36の数字の他に、0や00(赤でも黒でもない)があるそうです。

(参考:ルーレット - wikipedia

ここでは、1~36の数字と、0がある場合(ヨーロピアンスタイルというそうです)について考えてみます。


①1つの同じ数字(36倍)に36回賭ける


 1~36と0の、37個の数字から1つが決まります。

 つまり、当たる確率は1/37(約2.7%)です。

 当たった場合は36倍になりますから、当たった場合と当たらなかった場合を平均すると

 掛けたチップの36/37が戻ってきます。


 これを36回繰り返しますから、

 (36/37)×36で約35になります。

 つまり、36枚賭けて戻ってくる額の平均は35枚くらい、ということです。


 もちろん当たれば大きくなり、最大1296枚になります。

 ただし、こうなる確率は約0.0(0を50個)0003%、です。


 ついでに、全く当たらない確率は約0.0(0を50個)01%、です。



②約2分の1のベット(赤黒など 2倍)に36回賭ける


 上と同じく、37個の数字があり、赤は18個、黒も18個(0は赤でも黒でもない)です。

 当たる確率は18/37(約49%)です。

 当たった場合は2倍になりますから、平均すると

 掛けたチップの36/37(18/37*2)が戻ってきます。

 これは、①と同じですね。


 一応計算しておきますと、

 36回繰り返した場合、

 (36/37)×36で約35になります。

 つまり、36枚賭けて戻ってくる額の平均は35枚くらい、ということです。


 この場合の最大枚数は、72枚になります。

 そして、こうなる確率は約0.0(0を50個)006%、です。

 ①で全部当たる場合より20倍くらい当たりやすくなっています。


 ついでに、全く当たらない確率は約0.0(0を50個)007%、です。



ということで、①の場合も②の場合も36枚賭けたら35枚くらい返ってくるのが平均的のようです。

ただしこれはあくまで平均ですので、運不運によって大きく変わります。

id:joru_bugu No.3

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/01/29 04:42:15

ポイント18pt

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuri2/kitaiti/kitai...

URLは参考までに。

①、②、それぞれの期待値を求めてみましょう。この場合、期待値というのは、平均してどれだけチップが残るか、というのを表す数値です。

①の場合

コインを一枚ずつ賭けていくので、1回も当たらなければ0枚、1回だけ当たれば2枚、2回だけ当たれば4枚、3回だけ当たれば6枚・・・、コインが残る事になります。

まず、コインが0枚残る確率、つまり全部外してしまう確率は、

(1/2)^36 です。

次に、コインが2枚残る確率、つまり1回だけ当たる確率は、

(1/2)^35 × (1/2) × 36C1 = (1/2)^36 × 36C1

次に、2回だけ当たる確率は、

(1/2)^34 × (1/2)^2 × 36C2 = (1/2)^36 × 36C2

次にk回だけ当たる確率は、

(1/2)^(36-k) × (1/2)^k ×36Ck = (1/2)^36 × 36Ck

上の式で、(1/2)^(36-k)というのは、(36-k)回外す確率、(1/2)^k はk回当たる確率、36Ckというのは、36回中、当たりを出すのは何回目であるか、というのを表しています。

確率論では、大雑把に言えば、

(期待値)

=(得られるコインの数)×(その確率)を足していく

=(0枚)×(0枚得られる確率)+(2枚)×(2枚得られる確率)+(4枚)×(4枚得られる確率)+・・・・・+(72枚)×(72枚得られる確率)

となります。だから、①で得られるコインの期待値は、


(期待値)

=0×(1/2)^36 + 2×(1/2)^36 × 36C1 + 4×(1/2)^36 × 36C2+・・・・+72×(1/2)^36 × 36C36

=(1/2^36)×∑〔36Ck × (72-2k)〕

となります。∑は、k=0→36です。

これを関数電卓で計算すると、

=36

つまり、最初に持っていたコインと変わらないという結論になります。

同様に②の期待値は、

(期待値)

=∑〔36×k×(35/36)^(36-k)×(1/36)^k×36Ck〕

となります。

(k回当たる確率は、(35/36)^(36-k)×(1/36)^kであり、k回当たると36×k枚コインをもらえるから。)

これもまた関数電卓などで計算すると、

=36

つまり、①も②も、同じ期待値になるのです。よって、確率論的には、①も②も同じ枚数のチップ、しかももともと持っていたチップと変わらない枚数が残ることが期待されるといえます。。。確かに①の方がかなり不利に見えますが、確率論的には、期待値は等しいのです。


後半かなり適当になっちゃいましたm(__)m

高校レベルの数学の知識をある程度身につけていないと、理解が難しいと思われます。特に文系を選択した方にはかなり不親切な回答になってしまいました。申し訳ございませんm(__)m あと、全体的に見難くて、ホント、ごめんなさいm(__)m

id:rutus1228 No.4

rutus1228回答回数75ベストアンサー獲得回数42009/01/29 11:23:19

ポイント18pt

理論的には①も②も、元の資金のまま(この場合36枚)が手元に残ります。

① 1/36の確率で返金され、その倍率が36倍

 →1/36×36=1


② 1/2の確率で返金され、その倍率が2倍

 →1/2×2=1

---------------------------------------------------------------------

tookladyさんが、①の方が不利と感じられたのは、

上記の確率があくまで理論だからではないでしょうか?


例えば36回まわせば、理論上は全ての数字に1回ずつ入ることになりますが、

実際には均一にはならないですよね。


だからこそギャンブルなんだと思いますよ!


http://q.hatena.ne.jp/1233165143

id:hypos No.5

hypos回答回数90ベストアンサー獲得回数112009/01/29 12:51:29

ポイント18pt

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%8...

36回の試行後に残るコイン数は確率的には同じ36です(期待値)

ただし、黒字の確率などにするとまた変わってきますね

 

まずN=36回試行時の当たり回数としたときの当たり数に対する確率は

M=当たり時のオッズ(1/36か1/2ですね)とおいたら

 

M=36の場合は

=((1/36)^N*((35/36)^(36-N)))*36 C N

M=2の場合は

=((1/2)^N*((1/2)^(36-N)))*36 C N

でNを0→36でそれぞれ出します(これは単純にそれぞれの条件で当たり数とその可能性の相関を求めてます)

 

そしてそれぞれ

M*N*上で出した確率によって各当たり回数に対する当たりコインの期待値が出ます(当たり数*倍率でその事象の獲得コイン、それ*発動確率として期待値)

その合計を取ると全体としての期待値が出てそれは共に36、と

 

ただし、赤字にならない可能性(終了後に36枚以上のコインをもつ可能性)でみると実は36倍にかけるべきだったりします(36倍で約64%、2倍で約57%)

これは上記で出したもので「赤字になる組み合わせ」を100%から引いたものです

id:tanashi No.6

tanashi回答回数9ベストアンサー獲得回数02009/01/29 16:44:20

ポイント18pt

条件①の計算式

・・・ 0回当たる = COMBIN(36,0)*(((35/36)^36)*((1/36)^0))

・・・ 1回当たる = COMBIN(36,1)*(((35/36)^35)*((1/36)^1))


条件②の計算式

・・・ 0回当たる = COMBIN(36,0)/2^36

・・・ 1回当たる = COMBIN(36,1)/2^36


当選回数 条件①確率 条件①獲得枚数 条件②確率 条件②獲得枚数
036.2710033107%00.0000000015%0
137.3073176910%360.0000000524%2
218.6536588455%720.0000009168%4
36.0402323881%1080.0000103901%6
41.4237690629%1440.0000857181%8
50.2603463429%1800.0005485956%10
60.0384320792%2160.0028344104%12
70.0047059689%2520.0121474732%14
80.0004874039%2880.0440345902%16
90.0000433248%3240.1369965030%18
100.0000033422%3600.3698905581%20
110.0000002257%3960.8742867736%22
120.0000000134%4321.8214307784%24
130.0000000007%4683.3626414370%26
140.0000000000%5045.5243395036%28
150.0000000000%5408.1023646053%30
160.0000000000%57610.6343535444%32
170.0000000000%61212.5110041699%34
180.0000000000%64813.2060599572%36
190.0000000000%68412.5110041699%38
200.0000000000%72010.6343535444%40
210.0000000000%7568.1023646053%42
220.0000000000%7925.5243395036%44
230.0000000000%8283.3626414370%46
240.0000000000%8641.8214307784%48
250.0000000000%9000.8742867736%50
260.0000000000%9360.3698905581%52
270.0000000000%9720.1369965030%54
280.0000000000%10080.0440345902%56
290.0000000000%10440.0121474732%58
300.0000000000%10800.0028344104%60
310.0000000000%11160.0005485956%62
320.0000000000%11520.0000857181%64
330.0000000000%11880.0000103901%66
340.0000000000%12240.0000009168%68
350.0000000000%12600.0000000524%70


(※ 小数点10桁以下は省略しています。0.0000000000% = 0% ではありません。)


お互いが0枚で引き分ける確率

36.2710033107% * 0.0000000015% = 0.000000000527812565%


条件②が1枚以上、条件①が0枚で条件②が多くなる確率

36.2710033107% * 99.9999999985%(1枚以上全確率) = 36.271003310179400%


条件②が36枚、条件①が36枚で引き分ける確率

37.3073176910% * 13.2060599572% = 4.9268267426818400%


条件②が38枚以上、条件①が36枚以下で条件②が多くなる確率

73.5783210017%(36枚以下全確率) * 43.3969700214%(38枚以上全確率) = 31.930761907382200%


上記から

条件②が、条件①より多くなる確率は

約36.27% + 約31.93% = 約68.2%

条件②が、条件①と同じになる確率は

約00.00% + 約4.92% = 約4.92%

条件②が、条件①より少なくなる確率は

100% - 約68.2% - 約4.92% = 約26.88%



「どちらが多くチップが残りますか?」という質問には

条件①の方が不利となります。


「どちらが返却される期待値が多いか?」という質問は

どちらも同じとなります。


URLはダミーです

http://example.com

  • id:ele_dir
    実際に実行されたとのことですが、72回実行されたのでしょうか?
    もしそうでなければ、感覚的には、時々当たる、赤・黒の方が多いのではないかと推測します。
    もしくは、そのルーレットにゆがみがあり、たまたま、掛けたポットに入りにくくなっているなどかもしれません。
    いずれにしても、確率とは関係ないところで影響しているように思います。


    資料がありました↓基本的にどのようなベットをしても、確率的は同じようですね。
    遊び方の目安
    基本的にどのようなベットをしても控除率は一定である(機械式、またはディーラーが無作為にボールを投げる場合)。アメリカンスタイルの場合は 5.3% (2/38)、ヨーロピアンスタイルの場合は 2.7% (1/37)。
    引用元 : http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%88


  • id:tanashi
    当選回数36回の行を記載し忘れましたので記載します。


    ・・・当選確率:0.0000000000%
    ・・・獲得金額:1296

    ・・・当選確率:0.0000000015%
    ・・・獲得金額:72

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