<問題・解答例>

高校数学・微分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090129131750
<質問>
(1)について、解答例で両辺の絶対値をとっていますが、計算のなかでlogを分解して、
勝手に(?)絶対値をバラけてしまっています。なぜこのような操作が許されるのですか?
わかりやすく教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/01/29 13:28:56
  • 終了:2009/01/29 23:52:42

ベストアンサー

id:joru_bugu No.3

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/01/29 19:30:38

ポイント200pt

実数a、bにおいて、

・|ab| = |a||b|

が成り立つからです。

(1)a>0 、 b>0

のとき、

a × b >0

だから、|a×b|=a × b

|a|×|b|=a×b

よって、|a × b| = |a|×|b|

(2)a>0、b<0のとき、

a×b<0

→|a×b|=-ab

|a|=a |b|=-b

→|a||b|=-ab

よって、|a × b| = |a|×|b|

(3)a<0 b<0 のとき、

a×b>0

→|ab|=ab

|a|=-a |b|=-b

→|a||b|=ab

よって、|a × b| = |a|×|b|

(1)~(3)により、|a × b| = |a|×|b|

この考えを使うと、|abc|=|a||b||c|を示す事ができます。

(ab=d とおくと、|abc|=|dc|=|d||c|=|a||b||c| )

このようにしていくと、|abcdefg|=|a||b||C||d||e||f||g| と、分解できることがわかります。

さて、この問題ですが、両辺の絶対値をとると、

|y|=|〔(x-1)^(1/3) × (x^2 + 1)^(1/3)〕/(x + 1)〕|

これに対し、先程の考えを用います。((x-1)^(1/3)=a、(x^2 + 1)^(1/3)=b、1/(x + 1)=c、とおく)

|〔(x-1)^(1/3) × (x^2 + 1)^(1/3)〕/(x + 1)〕|

=|abc|

=|a||b||c|

=|(x-1)^(1/3)||(x^2 + 1)^(1/3)||1/(x + 1|

ということで、分解できるということです。もうちょっと簡潔にまとめられれば良かったのですが、これが限界ですorz・・・・

id:massa-will

>もうちょっと簡潔にまとめられれば

とんでもないです。すごくわかりやすいです。

大事なところをきちんと身につけることができました。本当に助かりました。

いつも質の高い回答をありがとうございます。

2009/01/29 23:36:12

その他の回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032009/01/29 14:42:19

ポイント70pt

 絶対値の規則に忠実に従って演算しているのではなく、単に、真数条件で、真数>0になるように、つけているだけだと思っていました。

 対数微分法の計算の手順は、次のようになります。ただし、log_eをlogで表す。

 y=f(x)g(x)h(x)・・・①とすると、

 両辺の対数をとって、

log|y|=log|f(x)g(x)h(x)|=log|f(x)|+log|g(x)|+log|h(x)|

 両辺をxで微分すると、

y'/y=f'(x)/f(x)+g'(x)/g(x)+h'(x)/h(x)

∴y'=f(x)g(x)h(x){f'(x)/f(x)+g'(x)/g(x)+h'(x)/h(x)}・・・②

 結局、①の形の微分のとき、②の形が計算しやすい場合に対数微分法を用います。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

ただ、まだよくわかりません。。。

下に質問の補足をしました。

2009/01/29 17:20:32
id:juic No.2

juic回答回数38ベストアンサー獲得回数32009/01/29 19:24:16

ポイント100pt

「絶対値をバラす」の意味がよくわからないのですが、こういうことでしょうか。

一般的に、|a×b|=|a|×|b|…①、|a/b|=|a|/|b|…②が成り立ちます。

前式の証)

i)a≧0,b≧0のとき,ab≧0より (左辺)=ab,(右辺)=ab

ii)a≧0,b<0のとき,ab≦0より (左辺)=-ab,(右辺)=a×(-b)=-ab

以下略

問題の式では、見やすくするためA=3√(x-1)←3乗根、B=3√(x^2+1)、C=x+1 とおくと、

(右辺)=log|(AB)/C|

=log(|AB|/|C|) (←②より)

=log(|A|×|B|/|C|) (←①より)

=log|A|+log|B|-log|C| (対数の性質)

となります。なぜ絶対値をつけるかについてはrsc96074さんの通りだと思います。

その後の微分についてはコメントの「既知」のとおりです。

質問の意図とずれていたらすみません。

id:massa-will

>質問の意図とずれていたらすみません。

大丈夫です。自分の質問文がわかりにくいものでした。すみません。

回答は要領がわかりやすく、よく理解ができました。いつもありがとうございます。

2009/01/29 23:45:56
id:joru_bugu No.3

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/01/29 19:30:38ここでベストアンサー

ポイント200pt

実数a、bにおいて、

・|ab| = |a||b|

が成り立つからです。

(1)a>0 、 b>0

のとき、

a × b >0

だから、|a×b|=a × b

|a|×|b|=a×b

よって、|a × b| = |a|×|b|

(2)a>0、b<0のとき、

a×b<0

→|a×b|=-ab

|a|=a |b|=-b

→|a||b|=-ab

よって、|a × b| = |a|×|b|

(3)a<0 b<0 のとき、

a×b>0

→|ab|=ab

|a|=-a |b|=-b

→|a||b|=ab

よって、|a × b| = |a|×|b|

(1)~(3)により、|a × b| = |a|×|b|

この考えを使うと、|abc|=|a||b||c|を示す事ができます。

(ab=d とおくと、|abc|=|dc|=|d||c|=|a||b||c| )

このようにしていくと、|abcdefg|=|a||b||C||d||e||f||g| と、分解できることがわかります。

さて、この問題ですが、両辺の絶対値をとると、

|y|=|〔(x-1)^(1/3) × (x^2 + 1)^(1/3)〕/(x + 1)〕|

これに対し、先程の考えを用います。((x-1)^(1/3)=a、(x^2 + 1)^(1/3)=b、1/(x + 1)=c、とおく)

|〔(x-1)^(1/3) × (x^2 + 1)^(1/3)〕/(x + 1)〕|

=|abc|

=|a||b||c|

=|(x-1)^(1/3)||(x^2 + 1)^(1/3)||1/(x + 1|

ということで、分解できるということです。もうちょっと簡潔にまとめられれば良かったのですが、これが限界ですorz・・・・

id:massa-will

>もうちょっと簡潔にまとめられれば

とんでもないです。すごくわかりやすいです。

大事なところをきちんと身につけることができました。本当に助かりました。

いつも質の高い回答をありがとうございます。

2009/01/29 23:36:12
id:yo-kun No.4

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302009/01/29 20:40:50

ポイント70pt

こんにちは。

>問題は、絶対値をバラしてもOKだとする理由です。

\left| xy \right|=\left| {x} \right| \left| {y} \right|

は常に成り立つため

\log \left| {xy} \right|=\log \left| {x} \right| \left| {y} \right| =\log \left| {x} \right| + \log \left| {y} \right|

も常に成り立ちます。


同様に

\left| x/y \right|= \left| {x} \right|/ \left| {y} \right|

は常に成り立つため

\log \left| x/y \right|=\log \left| {x} \right| / \left| {y} \right|=\log \left| {x} \right| - \log \left| {y} \right|

も同様に成り立ちます。

id:massa-will

こんにちは。

簡潔なだけに、そのまま暗記に使えそうです。ありがとうございます。

2009/01/29 23:48:34
  • id:massa-will
    <質問の補足>
    (logx)'=(log|x|)'=1/x
    を既知のものとして説明していただいても大丈夫です。
    問題は、絶対値をバラしてもOKだとする理由です。よろしくお願いします。
  • id:rsc96074
     昔のチャートには、「単独で、x-1>0といえないから、絶対値|x-1|について考える。」と書いてありました。絶対値の演算の結果、ばらして絶対値を付けているのではなく、真数が負にならないように絶対値をつけています。つまり、真数を負にしないことが目的で、絶対値を付けているだけです。

  • id:massa-will
    rsc96074さん
    ものわかりがよくなく、すみません。
    しかし、皆さんのおかげで、ようやくわかりました。
    ありがとうございます。

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