<問題・解答例>

高校数学・微分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090129131207
<質問>
cはa,bの中点なのでしょうか?
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090129131604
このような説明もあり、うまく整理できません。教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/01/29 13:36:48
  • 終了:2009/01/29 16:29:01

ベストアンサー

id:kyassaba_1192 No.1

奥田回答回数22ベストアンサー獲得回数12009/01/29 16:13:21

ポイント100pt

いいえ、中点でない場合もあります。平均値って表現に縛られない方がよいです。

点aから点bの中のどこかの点なら絶対にそうなります。


aからbへ歩いて行こうとしましょう(連続、閉区間、微分可能

で、もしかして最初に直線abの坂よりも、緩やかな坂道を歩いて行くと、当然abよりも低い場所を歩きますよね。

するとそのままだとbにたどりつけないから、今までより急な坂道を登らなければいけない。

すると坂の勾配は

今までの坂道<途中からの坂道

になりますよね。しかもどうしてもbにたどりつきたいなら

今までの坂<abの坂<途中からの坂

とかなり急な坂を登らなければならないわけです。すると当然緩やかな坂から急な坂に移るわけですから、途中で絶対にabと同じくらいの勾配も通りますよね。そこのabと同じくらいの坂がcですよって言ってるわけです。

だから、最初ゆったりの坂を歩くのですが、すぐにbへ方向修正した場合と、ぎりぎりまでゆったり歩き続けた場合でcがでる地点が違いますよね。図にしたいのですが、手元にそのようなものがないので。長ったらしく分かりづらい文章失礼しました。

この逆もできたり、最初何故か下ったりしてもできるので考えてみてください。

id:massa-will

お話仕立てで、イメージしやすいように教えてくださいました。

大変に面白かったです。また、よく理解できました。ありがとうございます。

2009/01/29 16:27:30

その他の回答(1件)

id:kyassaba_1192 No.1

奥田回答回数22ベストアンサー獲得回数12009/01/29 16:13:21ここでベストアンサー

ポイント100pt

いいえ、中点でない場合もあります。平均値って表現に縛られない方がよいです。

点aから点bの中のどこかの点なら絶対にそうなります。


aからbへ歩いて行こうとしましょう(連続、閉区間、微分可能

で、もしかして最初に直線abの坂よりも、緩やかな坂道を歩いて行くと、当然abよりも低い場所を歩きますよね。

するとそのままだとbにたどりつけないから、今までより急な坂道を登らなければいけない。

すると坂の勾配は

今までの坂道<途中からの坂道

になりますよね。しかもどうしてもbにたどりつきたいなら

今までの坂<abの坂<途中からの坂

とかなり急な坂を登らなければならないわけです。すると当然緩やかな坂から急な坂に移るわけですから、途中で絶対にabと同じくらいの勾配も通りますよね。そこのabと同じくらいの坂がcですよって言ってるわけです。

だから、最初ゆったりの坂を歩くのですが、すぐにbへ方向修正した場合と、ぎりぎりまでゆったり歩き続けた場合でcがでる地点が違いますよね。図にしたいのですが、手元にそのようなものがないので。長ったらしく分かりづらい文章失礼しました。

この逆もできたり、最初何故か下ったりしてもできるので考えてみてください。

id:massa-will

お話仕立てで、イメージしやすいように教えてくださいました。

大変に面白かったです。また、よく理解できました。ありがとうございます。

2009/01/29 16:27:30
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/01/29 16:14:13

ポイント100pt

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090129131207

まずこちらのほうですが、これは

「どの関数においても、この平均値の定理は通用します。こういった点Cが存在します。」

という定理のお話です。

そして、

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090129131604

「二次関数、放物線においては、線分A、Bの傾きと同じ傾きの接線を見つけてゆくと、その接点Cのx座標はA、Bの中点のx座標と【たまたま】(という書き方も変ですが^^; 計算すると放物線では【必然的に】なのですが。)同じですよ」

という話です。

つまり、

後者は前者の中で、放物線に限ったときの話というわけです。

id:massa-will

もやもやがなくなり、はっきりとさせられました。ありがとうございます。

2009/01/29 16:28:36
  • id:rsc96074
     中点になったのは、2次関数のときだからで、特別の場合です。
     たとえば、
    (1)f(x)=x^2の場合、同様のことをやってみると、
    {f(q)-f(p)}/(q-p)=(q^2-p^2)/(q-p)=p+q
    f'(x)=2x
    ∴f'(r)=2r
     両者が等しくなる条件は、
    p+q=2r
    ∴r=(p+q)/2
     確かに、成り立ちます。
    (2)f(x)=x^3の場合、同様のことをやってみると、
    {f(q)-f(p)}/(q-p)=(q^3-p^3)/(q-p)=p^2+pq+q^2
    f'(x)=3x^2
    ∴f'(r)=3r^2
     両者が等しくなる条件は、
    p^2+pq+q^2=3r^2
    ∴r=±√{(p^2+pq+q^2)/3}
     この場合は、中点にはなりません。

  • id:massa-will
    実際に試したものを見ると、よく納得できます。
    終了後にも、ありがとうございます。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません