<問題・解答例>

高校数学・微分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090204140359
<質問>
上のほうのメモです。①について、毎秒2の速度とは1秒あたりの平均速度のはずなのに、
それをそのままy=2における微分係数と等しいとしています。どうしてそんなことが許されるの
ですか?わかりやすく教えてください。
また、下のほうの円で囲んであるところですが、これはdx/dtが一定でないから、こうした
計算をしていると解釈していますが、合っていますか?教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/04 14:20:47
  • 終了:2009/02/05 11:16:04

回答(4件)

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/02/04 14:47:41

ポイント25pt

まず確認しましょう


dy/dt → PのY方向への1秒あたりの移動度(変化率)⇒PのY方向に対する速度⇒Pの速度のY軸成分 

dx/dt → PのX方向への1秒あたりの移動度(変化率)⇒PのX方向に対する速度⇒Pの速度のX軸成分 

よって、問題に書かれている


QがY軸上を毎秒2の速度で動く=Pの速度のY軸成分=dy/dt=2

※QはPのY軸に対する写像だからですね^^

さて、ここで式変形をして導き出した式

x・dx/dt + 2y = 0

は何を意味しているかと言うと、Pの位置と速度の関係式を意味しています。

つまり、

点P(x,y)がxy=4上にある限り必ず成立する式

で、

なおかつ点Pの座標がわかっている時に、その地点でのX軸方向の速度成分もわかる

と言う優れものの式なのです!

問題では、点Pが(2,2)の時にの速度を求めなくてはいけないのですから、早速上の式に代入し、

x・dx/dt + 2y = 0 ⇒2dx/dt = -4 ⇒ dx/dt = -2

を導き出しています。

ここでは

dy/dtやdx/dtを、1秒あたりの平均速度や微分係数ではなく、1秒あたりの移動度(つまり単なる速度)考えていること

<< 

で、納得の行く解答が出てくるのではないでしょうか。

id:massa-will

回答をありがとうございます。

>dy/dtやdx/dtを、1秒あたりの平均速度や微分係数ではなく、

1秒あたりの移動度(つまり単なる速度)考えていること

移動度とは、物理用語ですか??まだ、物理を勉強していないもので。。

速度=微分係数だと思っていましたが、違うのですか?

2009/02/04 17:09:59
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/02/04 14:53:37

ポイント25pt

> これはdx/dtが一定でないから、こうした計算をしている

ですが、

加速度を持つ⇒速度が時間とともに変化している⇒dx/dtやdy/dtが一定でない


ということですから、自明である場合を除き、xやyをtで二回微分して求めるべきだと思います。

(ちなみにy方向は一定の速度なのは自明なので、そのまま0でオッケーだとおもいます)

id:massa-will

x方向→y方向として、読みましたので、大丈夫です^^

2009/02/04 20:38:41
id:joru_bugu No.3

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/02/04 15:10:19

ポイント100pt

毎秒2の速度、というのは、等速運動であるということを表しています。更にQはy軸上を動くので、これは等速直線運動ですね。つまり、ずっと同じ一定の速度で進んでいるということです。y=1であろうが、y=2であろうが、yがどんな値をとっても、その速度は変わらず、毎秒2であるということです。よって、速度が常に2であるということで、dy/dt=2


もう少し砕けた言い方をすると、等速運動というのは、小学生のとき学んだ、「はじきの公式」を使えるものです。距離=速さ×時間。今回は速度が毎秒2、時間がtで距離がyなので、y=2×t ですね。これを両辺をtで微分すると、dy/dt=2 と出てきたりします。


一秒当たりの平均変化率が常に2だから、dy/dt=2 ということで。自分は物理が非常に苦手なので、ちょっと説明があやふやで申し訳ない・・。


下の方の計算ですが、dx/dtが一定でないから、というよりは、具体的なdx/dtの値がわかっていないからだと言えるでしょう。dy/dtというのは、yがどんな値を取ろうともdy/dt=2です。


しかし、dx/dtに関しては、何のヒントも与えられていないので、仕方なく解答例のような計算をしているといった感じです。仮にdx/dt=t^2 のように与えられていれば、t^2をもう一回微分するだけで加速度は求まりますしね。(別の方法で解けば、dx/dtはtの式で出てきますが)


今回のように、dx/dtがtの関数で表されていなく、(dx/dt)×y + x (dy/dt)=0 のような微分方程式が与えられている時は今回のような方法で解くのがオススメですよ~っていうのがこの問題の伝えたいことなのでしょう。m(__)m

id:massa-will

よくわかりました。これですっきりとできました。ありがとうございます。

2009/02/04 17:12:12
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032009/02/04 15:13:55

ポイント30pt

(1)厳密に言えば、確かに変ですが、「平均速度」が2なら、「瞬間速度」も2になるはずという設定だと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9E%AC%E9%96%93%E9%80%9F%E5%BA%A...

・位置・速度・加速度の関係

>観測時間Dtを充分短くしたとき(数学的にはDt → 0 )の速度を「瞬間の速度」あるいは単に「速度」と呼びます.

http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/matsuura/java/Slopes/GoodSlopes....

(2)合っていると思います。yの方は、dy/dt=2=Const.だから、d^2 y/dt^2=0

id:massa-will

リンクのマーチですね♪参考になります。ありがとうございます。

2009/02/04 17:15:18
  • id:idetky
    あ、2番目の解答で、x方向は加速度0は自明と書いたけど、Y方向でした。。。orz
  • id:rsc96074
    (1)dy/dtやdx/dtは、「平均速度」じゃなくて、「瞬間速度」のことです。
    (2)#3の方が仰っているように、たまたま残っているという感覚です。一定じゃないから0になって消えていないので、それでもまぁいいのですが。
     ちなみに、(dx/dt)・y+x・(dy/dt)=0をtで微分したら、
    {(d^2 x/dt^2)・y+(dx/dt)・(dy/dt)}+{(dx/dt)・(dy/dt)+x・(d^2 y/dt^2)}=0
    ∴(d^2 x/dt^2)・y+2(dx/dt)(dy/dt)+x・(d^2 y/dt^2)=0
    dy/dt=2=Const.だから、d^2 y/dt^2=0
    これとx=y=2、dx/dt=-2を上の式に代入したら、
    (d^2 x/dt^2)・(2)+2(-2)(2)+(2)・(0)=0
    (d^2 x/dt^2)-4=0
    ∴d^2 x/dt^2=4
    これでも結果は同じです。

  • id:massa-will
    コメントをありがとうございます。
    いまよくわからないのはidetkyさんの「単なる速度」と「移動度」というところです。
    あとは問題ありません。コメントの下の計算式、参考になりました。ありがとうございます。
  • id:KazuhisaNagata
    移動度は物理用語ではないです。点の移動する割合=移動度と言いたいだけでしょう。
    そこに悩む必要はないですよ^^)
  • id:massa-will
    コメントをありがとうございます。
    はい。それでは終了することにします。

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