高校数学・積分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090208104744
<質問>
下のほうのメモにありますが、円で囲んだyをうまく解釈できません。
わかりやすく説明してください。お願いします。
yというのは、元々あったf(x)のことです。∫f(x)dx のf(x)をyに置換し、
dx=〔e^y-e^(-y)〕dy
より、∫f(x)dx=∫y(e^y-e^(-y))dy となるわけですね。これって、yで置換してるからわかりにくいんですけど、tで置換すればいつもの置換積分の問題になると思われます。
まず、f(x)=t とおきます。x=e^y + e^(-y)のyをtと置くわけですから、
x=e^t + e^(-t) となります。
dx=〔e^t - e^(-t)〕dt
tの範囲は、解答例のyの範囲の求め方と同様に、0≦t≦log(2+√3)
よって、
∫f(x)dx=∫t・〔e^t - e^(-t)〕dt
問題中では、f(x)をtではなく、yで置き換えたということです。わかりにくかったらtで置換することをオススメします。
この問題では、「逆関数を求めて、せこせこ積分するより、与えられた積分の各要素を置き換えてあげて解く(置換積分)方が解きやすい」という方針は理解しているとします。
与えられた積分の要素は、
f(x)、dxの二つありますよね。
後者は、
x=e^y + e^(-y)より、dx=(e^y - e^(-y))dy⇒dx は (e^y - e^(-y))dyに置き換え可能。
前者は
y=f(x)より、⇒f(x)はyに置き換え
が可能になっています。
すると、
∫f(x) dx ⇒∫y (e^y - e^(-y))dy
と置き換えることができるわけです。
そして、x:2→4の時のyの値を求めてあげると、
x:2→4
y:0→log(2+3^1/2)
となるので、解答のような答えが出てきます。
とてもよくわかりました。きちんと整理することが大切ですね。ありがとうございます。
とてもよくわかりました。tにしてみるなど、こんどから工夫をしてみます。
ありがとうございます。