<問題・解答例>

高校数学・積分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090208104744
<質問>
下のほうのメモにありますが、円で囲んだyをうまく解釈できません。
わかりやすく説明してください。お願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/08 10:53:02
  • 終了:2009/02/08 14:45:24

回答(3件)

id:joru_bugu No.1

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/02/08 11:13:39

ポイント100pt

yというのは、元々あったf(x)のことです。∫f(x)dx のf(x)をyに置換し、

dx=〔e^y-e^(-y)〕dy

より、∫f(x)dx=∫y(e^y-e^(-y))dy となるわけですね。これって、yで置換してるからわかりにくいんですけど、tで置換すればいつもの置換積分の問題になると思われます。

まず、f(x)=t とおきます。x=e^y + e^(-y)のyをtと置くわけですから、

x=e^t + e^(-t) となります。

dx=〔e^t - e^(-t)〕dt

tの範囲は、解答例のyの範囲の求め方と同様に、0≦t≦log(2+√3)

よって、

∫f(x)dx=∫t・〔e^t - e^(-t)〕dt

問題中では、f(x)をtではなく、yで置き換えたということです。わかりにくかったらtで置換することをオススメします。

id:massa-will

とてもよくわかりました。tにしてみるなど、こんどから工夫をしてみます。

ありがとうございます。

2009/02/08 14:42:16
id:idetky No.2

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/02/08 11:29:43

ポイント100pt

この問題では、「逆関数を求めて、せこせこ積分するより、与えられた積分の各要素を置き換えてあげて解く(置換積分)方が解きやすい」という方針は理解しているとします。

与えられた積分の要素は、


f(x)、dxの二つありますよね。

後者は、

x=e^y + e^(-y)より、dx=(e^y - e^(-y))dy⇒dx は (e^y - e^(-y))dyに置き換え可能。

前者は

y=f(x)より、⇒f(x)はyに置き換え

が可能になっています。

すると、

∫f(x) dx ⇒∫y (e^y - e^(-y))dy

と置き換えることができるわけです。

そして、x:2→4の時のyの値を求めてあげると、

x:2→4

y:0→log(2+3^1/2)

となるので、解答のような答えが出てきます。

id:massa-will

とてもよくわかりました。きちんと整理することが大切ですね。ありがとうございます。

2009/02/08 14:43:57
id:maakunh No.3

maakunh回答回数35ベストアンサー獲得回数22009/02/08 12:03:09

ポイント15pt

f(x)→y →→→y=f(x)なので

dx→(e^y - e^-y)dy

と置き換えています。

id:massa-will

回答をありがとうございます。参考になりました。

2009/02/08 14:44:53

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