<問題・解答例>

高校数学・積分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090209111936
<質問>
円で囲んだ式についてです。この式はどのような発想からたてられたのですか?
唐突で、よくわかりません。わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/09 11:34:40
  • 終了:2009/02/09 17:09:21

回答(2件)

id:joru_bugu No.1

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/02/09 14:28:09

ポイント150pt

(x/e^x) → 0 (x→∞) ・・・①

というのは、当たり前のように使うこともあるし、証明を要するときもあります。入試の際、不安だったら証明を書いておきましょう。

今回の問題は、(x/e^x) → 0 (x→∞) を証明しないと使ってはいけない問題のようですね。だから解答例で丁寧にも証明してくれています。

とりあえず、①が成立するのはわかっていることですから、極限値が0になることを目指します。それで解答例を作った人は、

0<x/(e^x)< ??

という形を思い浮かべたのです。??が0に収束すれば、ハサミ打ちの原理より、x/(e^x)→0となります。さて、xを∞に飛ばしたときに0に収束する??はどんなものがあるでしょうか。そんなの無数に存在しますが、一番簡単に思いつくのは(1/x)ですよね。だから、x/(e^x)<1/x を示そうと考えたのです。これが成立すれば、ハサミ打ちの原理が使えるわけです。

この式をちょっと変形すると、

0<e^x - x^2</p>

となります。まさしく、0<g(x) ですね。これが、g(x)=e^x - x^2 と置いた理由です。</p>

x≧1でg(x)>0が示せれば、自動的に①が証明されます。

(x≧1 というのは、xが無限大に飛ばされるため、当然xは1よりもずっと大きい数であるという前提で議論してOKだからです。このようにおかないと、x<1のときも考えなくてはならなくなり、スムーズに証明が進まないからです。)


それで、この問題で何を伝えたかったのかというと、①の証明方法にこんな方法もあるよ、ってことを伝えたかったのだと思います。冒頭にも書きましたが、入試では①を証明させる場合もあります。なので、この解答例のような証明方法を覚えておけば便利ですよ、ってことを言いたかったんだと思います。①の証明方法は他にもありますので、他の方法をすでに理解しているのであれば、この問題はそこまで気にかけなくて良いと思われます。自分の覚えやすい方法をきっちり理解しておけばOKです!

id:massa-will

証明方法について、解答例にそのようなニュアンスが含まれていたのですね。理解が深まります。

e^x - x^2については、e^x - xのままでもいいのでしょうか?同じ要領で計算できそうですが?

2009/02/09 16:03:46
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4385ベストアンサー獲得回数4002009/02/09 16:56:53

ポイント50pt

 結局欲しいのは、lim[x→∞]{x/e^x}=0ですが、このもっと一般的な式lim[x→∞]{x^n/e^x}=0証明は、級数展開を使います。

 任意の自然数nについて

 X>0⇒e^x>1+x+x^2/2!+・・・+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!

∴e^x>x^(n+1)/(n+1)!

∴0<x^n/e^x<(n+1)!/x</p>

はさみうちの原理を使えば、

lim[x→∞]{x^n/e^x}=0

 問題の場合、n=1の場合で、lim[x→∞]{x/e^x}=0

とやるんですが、級数展開は高校の範囲外だから、苦し紛れに、解答のようにやっているのだと思います。

 しかし、これを踏まえて考えれば、発想として、e^xとxのべき乗がなぜ結びつくのはわかると思います。

 問題に戻って、解答を逆に見ていけば、lim[x→∞]{x/e^x}=0が言えるためには、0<x/e^x<1/xが言えればいい。ここで、1/xの1は定数なら何でもいいのですが。</p>

 これが言えるためには、e^x>x^2が言えればいい。それで、g(x)=e^x-x^2が出てきたのだと思います。

・指数関数のマクローリン展開:

http://assam.iic.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Ma...

id:massa-will

高校の範囲外でも覚えておいたほうがいいかもしれませんね。

リンクをあとで詳しく読んでみます。ありがとうございます。

2009/02/09 17:07:14
  • id:joru_bugu
    g(x)=e^x - x として計算すると、g(x)>0が証明されると、

    e^x > x

    となりますね。しかしこれは

    1 > x/e^x

    となってしまうため、ハサミ打ちの原理が使えなくなってしまうので、

    g(x)=e^x - x^2

    でないといけないみたいです。。

    ちなみに、x>100 のように、xを大きく取ってあげれば、

    g(x)=e^x - x^3

    g(x)=e^x - x^4

    とおいても、g(x)>0 が示せるので、e^x > x^4 → 1/x^3 > x/e^x のようになるため、

    結局 x/e^x → 0 (x → ∞) が示せます。まぁ一番手っ取り早いのは、g(x)=e^x - x^2 ということで、あくまで参考程度ですが・・・(^^;
  • id:massa-will
    大変、よくわかりました。ほっとしました^^ありがとうございます。

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