<問題・解答例>

高校数学・積分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090211104227
<質問>
着想に始まり、論理の展開までよくわかりません。わかりやすく噛み砕いてください。
(1)、(2)はおそらく同じようなものだと思うので、(1)についてのみで大丈夫です。
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/11 11:07:54
  • 終了:2009/02/11 15:59:59

ベストアンサー

id:joru_bugu No.1

ジョルブグ回答回数41ベストアンサー獲得回数62009/02/11 14:58:06

ポイント300pt

この問題は、解答例の文章は読まない方がいいです。解答例に載っている図のみ見てください。

問題の不等式のように、「1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n」のような級数が含まれているときは、解答例のように解くと便利です、というのがこの問題の趣旨です。特に、(1),(2)のように、一般項を「1/n」とか「1/n^2」のように簡単なnの式で表せるときは要注意です。

まず、(1)の図を見てみましょう。y=1/x のグラフに、長方形がいくつか貼られていますね。y=1/xを考えているのは、問題の不等式の右辺の一般項が「1/n」となっているためです。

長方形のうち、もっとも左側にあるものの面積は、縦1、横1ですので、1×1=1です。その右隣の長方形の面積は、1/2、その右隣は、1/3・・・のように続いていきます。

長方形の面積が1/nになるまで長方形を貼っていきます。そして、グラフに貼った全ての長方形の面積を足すと、

1 + 1/2 + ・・・・+ 1/n

となります。まさしく、(1)の不等式の右辺ですね。

さて、次に1≦x≦2の範囲に注目します。x=1、x=2、y=1/x、x軸で囲まれる面積と、一番左側の長方形の面積を比べてみてください。長方形の方が明らかに面積が大きいですよね。長方形はx=1、x=2、y=1/x、x軸で囲まれる面積を完全に覆ってしまっています。

次に、2≦x≦3の範囲に注目し、先程同様、今度はx=2、x=3、y=1/x、x軸で囲まれる面積と、2番目に左側の長方形の面積を比べます。やはり、長方形の方が面積が大きいですね。

このように、どの長方形に注目しても、長方形の方が面積が大きくなっているわけです。

よって、これらをまとめると、x=1、x=n+1、y=1/x、x軸で囲まれる面積と、全ての長方形の面積の和を比べると、やはり全て長方形の面積の和の方が大きくなるため、

∫1/x dx (1≦x≦n+1) < 1 + 1/2 + ・・・・+ 1/n

→log(n+1) < 1 + 1/2 + ・・・・+ 1/n

ということです。解答例の文章は、上のことを文字にしただけです。

文章中の「∫1/k dx (k+1≦x≦k) というのは、n=kにおける長方形の面積を表しているわけですね。∫1/x dx (k+1≦x≦k)  は、x=k+1、x=k、y=1/x、x軸に囲まれる面積です。

∫1/k+1 dx (k+1≦x≦k) に関しては、この問題では使わないので、考えなくてOKだと思われます。

今回の問題は、このように解けましたが、少し工夫のいる場合や、全く解けない場合も出てくると思われます。とりあえずこの方法で解いてみて、ダメだったら他の方法を考える、というのをおすすめします。。

(1)を理解した上で(2)も解いてみてください。(1)と図の描き方が微妙に異なります。(2)も完璧に理解できれば、この分野は大丈夫です。

id:massa-will

大変にわかりやすい完璧な回答でした。感動しました。

また、最後の一言にも心をこめていただいているように思え、嬉しかったです。

同時にまた、この分野が完璧になるんだ。よし、頑張ろう」と元気がでました。

ありがとうございます。

2009/02/11 15:59:27
  • id:joru_bugu
    あ、(k+1≦x≦k) て書いてしまいましたが、(k≦x≦k+1)でした。失礼しやした;m(__)m 
  • id:massa-will
    大丈夫です^^
  • id:joru_bugu
    励ましになって良かったです!こちらもそう言って頂けると嬉しいです。ありがとうございます。

    しばらくPCが使えなかったので、ちょっと遅れてしまいましたが、補足しておきます。

    回答中にも少しだけ書きましたが、入試問題になると、工夫が必要な問題も出てきます。(1)の不等式では、左辺がlog(n+1)となっておりますが、少し難しくするために、例えば、log n になっていることもあります。つまり、積分結果がそのまま左辺にならない場合があるということです。そんなときは落ち着いて、

    log(n+1) とlog n だったら、明らかにlog(n+1)の方が大きいのだから、

    log n < log(n+1) < 1 + 1/2 + ・・・・ +1/n

    →log n < 1 + 1/2 + ・・・・ + 1/n

    とすればOKです。本番ではもっと捻くれた問題が出るはずなので、一発で積分結果が問題中の不等式と一致しなくても、変形したり、上記のように不等号を使ったりして、証明を目指してみてください。積分結果が計算ミスしていたりすると、いつまで経ってもゴールに辿り着かなくなってしまうので、積分は慎重にいきましょう!(自分も何回計算ミスに泣かされたか・・・orz)

    今回のような、長方形の面積の総和と、x軸と関数で囲まれる面積の関係を用いて証明する問題は頻繁に出題されるので、応用問題に慣れるためにも、複数の問題を解いて慣れておくのが良いかもしれません。基礎はこの2題で十分だと思います!
       
  • id:massa-will
    実戦的なお話で、大変に役立ちます。この問題の復習時に一緒に復習しようと思います。
    また、問題の位置づけを知ることができ、「この問題はやる意味があるのだろうか」と
    いう時折の疑問も今回はなくすことができました。それから計算ミスのことも聞けて、
    少し安心できました。ありがとうございました。

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