<問題・解答例>

高校数学・積分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090214103201
<質問>
(1)、(2)の1行目についてです。「解でない/解である」と即断される理由がわかりません。
そもそも微分方程式について、十分な説明がなされているテキストがなく、基本の理解が不十分な
まま問題に取り組んでいます。テキストでぞんざいに扱われているのは、入試に出題されないという
ことなのでしょうか?不思議に思っています。よろしければ、回答にあわせて言及ください。
よろしくお願いします。
余談の余談ですが、積分の計算で肩が凝ってしまいました。良いシャープペンシルはないものかと
思っています。数学の得意なみなさんはどのようなものを使われてますか?もしよろしければ、教
えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/14 11:08:02
  • 終了:2009/02/14 14:27:28

回答(3件)

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4402ベストアンサー獲得回数4042009/02/14 12:12:27

ポイント40pt

 変数分離形なので、分離するために(2y-1)やyで割る必要性が出て来て、0ではうっかり割れないので、解かどうか調べているわけですが、

(1)では、「x=0のときy=1」と条件に明記されているので、明らかに、定数関数y=1/2は、解じゃないとすぐに言い切れます。

(2)では、yで割る必要があるので、y=0が解かどうか調べたわけですが、元の式に、y=0を代入して調べているようです。

(左辺)=(0+0)sin[x]=0

(右辺)=0cos[x]=0

>テキストでぞんざいに扱われているのは、入試に出題されないということなのでしょうか?

 下記URLに次のようにありました。受験される大学の出題範囲を確認しておくべきかも知れません。

>今年(2006年)の入試から,京都大学では数学III で「簡単な微分方程式及び曲線の長さ」が含まれることになった.

もともと1960年代は「微分方程式」が「積分法の応用」の中の一節としてあった.十数年前の「微分・積分」にもあったが,それがこの十年なく,今回の改訂でも復活しなかった.

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/bibun/node2.ht...

 大学の教養の微分積分で習いましたが、微分方程式には基本の型があります。参考までにどうぞ。

・微分方程式 - Wikipedia

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8...

・微分方程式とは

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_10/equation.htm...

・ 微分方程式入門

http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso4/kiso4ode.pdf

>良いシャープペンシルはないものか

 こちらはどうでしょうか。

・ドクターグリップ

>首・肩・腕にやさしいドクターグリップ

http://www.pilot.co.jp/products/pen/sharp_pen/sharp_pen/drgrip/i...

id:massa-will

微分方程式がさらりと流されている理由がこれでわかりました。

どうもおかしいと思っていました。リンクも参考にしてみます。ドクターグリップも^^

ありがとうございました。

2009/02/14 13:55:31
id:miku1973 No.2

yoshifuku回答回数35ベストアンサー獲得回数02009/02/14 13:03:07

ポイント120pt

一応、高校数学の教員免許を持っています^^。

> x=0のときy=1であるから・・・

 

まずこれは題意(前提条件)そのままなのでいいですよね!

で、

 

> ・・・定数関数 y=1/2 は解ではない。

 

この部分が

「なんですぐわかるねん?断定できるねん?」

というご質問だと思います。

 

dy/dx=x(2y-1)

ってのは、

「yをxで微分したらx(2y-1)だよ」

という意味です。

 

x=0の時って、そのまま代入して

dy/dx=0 ですよね。

これは

「yをxで微分したら0だよ」

という意味なんですが、ということは、

「yはa(定数)」

ってことが同時に言えてるんです。

だから、yは1とか2とか-1とか-0.5とかいろいろな可能性が

あるのですが、

「これが1ですよー」

ってのが題意(前提条件)なんですよ。

つまり

「これは(yは)1/2ではないですよー」

ということが同時に言えてるんです。

 

こんな説明でどうでしょうか?

id:massa-will

教員免許、すごいですね^^

回答の自分なりの理解ですが、

 x=0 かつ y=1⇔不定形 かつ y=1

 ∴yは定数

ということでいいですか?

2009/02/14 13:41:04
id:urony No.3

urony回答回数42ベストアンサー獲得回数12009/02/14 13:10:01

ポイント40pt

元の関数が y=1/2 だとすると、X=0 のときも y=1/2 となりますが、

問題文より x=0 のときは y=1 なので、x=0 のとき、y=1/2、1 になってしまいます。

これは非連続な関数です。

連続な関数でないと微分不可能ですので、定数関数y=1/2 は解ではないということです。




余談ですが、受験生時代、私は自習のときはボールペンのSignoを愛用していました。

ほとんど力を入れずに書けるので、肩こりもなかったしペンだこもできませんでした。

id:massa-will

確かにx=0で微分不可能ですね。理解が少し進みました。

ボールペンをつかわれていたのですね。参考にします。

ありがとうございました。

2009/02/14 14:08:30
  • id:miku1973
    ごめんなさい!(1)だけ言及して、(2)を言及していませんでした。
  • id:miku1973
    (2)はy=0を代入したら、左辺も右辺も同じになりますよね! ということは、等式が成り立つ。すなわち、少なくともこの方程式はy=0を解に持っているということが言えたことになるんです。(他にも解を持っている可能性もあります)
  • id:miku1973
    > x=0 かつ y=1⇔不定形 かつ y=1

    んーーーーー、ちょっと1行目の意味が伝わりにくいですねー。
     
    この問題においては、フツーに考えれば、
     x=0
    ⇒dy/dx=0
    ⇒y=a(定数)

    だけど、題意(前提条件)で、
     x=0
    ⇒y=1
    で考えてくれって宣言されちゃってるので、
     x=0
    ⇒y≠1/2
    という感じかな。
     
     
     
    > ∴yは定数

    これは
    dy/dx=x(2y-1)
    で、右辺が0の時しか言えないですよね。
    右辺が0になるのは、x=0かy=1/2です。
    なので、題意(前提条件)が無ければ、両方の時を吟味しなければいけないですが、
    片方(y=1/2)は吟味しなくてもいいなっていうのが、比較的簡単にわかるので、
    冒頭で言っちゃってる感じだと思います。
  • id:massa-will
    たびたび、コメント・回答をくださり、大変に恐縮です。
    自分の質問が下手ではありましたが、2つながら回答を読み合わせて、
    きちんと理解することができ、ほっとしました。ありがとうございました!

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