<問題・解答例>

高校数学・関数
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090227112204
<質問>
メモにもありますが、指針の意味がよくわかりません。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/27 12:19:11
  • 終了:2009/02/28 11:41:11

回答(5件)

id:idetky No.1

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202009/02/27 13:21:44

ポイント70pt

これは

f(x)、f(f(x))、f(f(f(x)))、、、、・・・・(※)

と繰り返してゆくと、どこかでfk(x)=xとなるkが見つかる。

すると、

fk+1(x)=f(x)、fk+2(x)=f(f(x))、fk+3(x)=f(f(f(x)))、、、、

となり、結局(※)を繰り返すことになる。

ということです^^


今日は雪まで降って寒いです><

風邪を引きませんように!

id:massa-will

すいませんorz...

質問文が下手すぎました。わからないポイントは、

「どうして例外なく、そうであると断言できるのか?」

ということです。できましたら、再度、教えてください。よろしくお願いします。

PS:idetkyさんも風邪など引かないようにお気をつけてください。勉強の先生がいなくなる

からではありませんが^^

2009/02/27 14:54:51
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4399ベストアンサー獲得回数4032009/02/27 14:36:34

ポイント60pt

 n=1,2,3・・・と試していったら、f3(x)=xとなって、f4(x)=f(f3(x))=f(x)となり、f5(x)=f(f4(x))=f(f(x))=f2(x)となって、以後、繰り返しになるという意味だと思います。ちなみに、(f○fk)(x)=f(fk(x))です。

・KIT数学ナビゲーション 合成関数

>(g○f)(x)=g(f(x))

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/henkan-tex.cgi...

 数学の問題は、必要十分条件だけで解くのがすっきりしていますが、この問題のように、試してみたり、特殊化して、必要条件から、とにかく、答えを見つけて証明するパターンも多いです。

 それから、物理や化学の質問の件ですが、それぞれの大学の募集要項と過去問から、捨てるところ決断した方がいいと思います。

id:massa-will

すみませんorz...

質問文が下手すぎました。わからないポイントは、

「どうして例外なく、そうであると断言できるのか?」

ということです。できましたら、再度、教えてください。よろしくお願いします。

ps:あっ、アイコン。似合ってますね^^

2009/02/27 14:56:58
id:miku1973 No.3

yoshifuku回答回数35ベストアンサー獲得回数02009/02/27 16:32:31

ポイント40pt

> どうして例外なく、そうであると断言できるのか?

 

これは断言できます。

kを1から6のときぐらいまでやってみると、どういう関数になるのか傾向が見えてきます。

で、

「あ、ここで恒等関数になるんだ!」

ということに気づくわけです。

 

恒等関数になるということは、いわば振り出しに戻ったようなもの。

kを7、8、9・・・とやってみると、また恒等関数になることもわかると思います。

だから、

「恒等関数になるようなkがえんえんと存在する」

ことが断言できますです。

 

どうでしょう?

id:miku1973 No.4

yoshifuku回答回数35ベストアンサー獲得回数02009/02/28 05:04:18

ポイント60pt

悩まれているようなので、私なりに補足しますね。

 

わかりやすくするために、

f(x)=1/x・・・・・・・・★

で考えてみましょう。

 

この時、

「fn(x)を求めよ」

という問題だったら、

f1(x)を求めて、

f2(x)を求めて、

f3(x)を求めて、

・・・

お、なんだか傾向がわかってきたぞ!となり、

たぶん、

「fn(x)は●■だと予想できるから、後は帰納法で示せばばっちりだぜ!」

という指針になるわけです。

 

ところがですよ、すごいことに、

「帰納法で示さなくてもよい」ことがわかるんです!!

 

実際に計算してみると、

f1(x)=1/x

f2(x)=x(なんと恒等関数!)

f3(x)=1/x(これはf1(x)と同じ!!)

f4(x)=x(これはf2(x)と同じ!!だから恒等関数でもある!)

というわけで、

「法則が見えたぜ!」

となります。これを帰納法で示してもいいんです。

だけど、

「fn(x)はf1(x)、f2(x)の繰り返しとなる(のは明らか)」

としてもなんら問題ありません。

なんで問題ないかというと、

「法則性が単純明快すぎるから」

です。※逆に帰納法を使うのは法則性が一目瞭然・・・とまではいえない時

これも指針です。

 

★の部分を実際の問題のように、

f(x)=(2x-3)/(x-1)

で考えてもらっても全く同じです。

 

どうでしょう?

id:massa-will

何度も回答をくださり、ありがとうございます。

何となくわかったような気がします。すみません、理解力が足らず。

しかし、あとは自分なりにこの何となくの理解を深化させたいと思います。

2009/02/28 11:34:33

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 taka27a 3149 2953 64 2009-02-27 12:31:45
  • id:massa-will
    <質問の補足>
    質問文が下手すぎました。わからないポイントは、
    「どうして例外なく、そうであると断言できるのか?」
    ということです。よろしくお願いします。
  • id:massa-will
    rsc96074さん
    >大学の募集要項と過去問から、捨てるところ決断した方がいいと思います。
    こちらで答えてくださったのですね。ありがとうございます。過去問、見てみます。
  • id:idetky
    > 「どうして例外なく、そうであると断言できるのか?」

    恒等関数(こうとうかんすう)とは、変数を全く変えずにそのままの値で返す関数
    ⇒f(x)=xという関数のことです

    ここでfk(x)=xとなるkがあったとすると、
    fk+1(x)=f(fk(x))となりますよね。
    ここまではいいですか?

    ここで、kは「fk(x)=xとなるk」なので、
    fk+1(x)=f(fk(x))=f(x)となり、元に戻ってしまいます。

    すると、
    fk+1(x)=f(x)、fk+2(x)=f(fk+1(x))=f(f(x))=f2(x)、fk+3(x)=f(fk+2(x))=f(f(f(x)))=f3(x)、、、、

    となり例外なく、f(x)~fk(x)を繰り返すことになります。
  • id:rsc96074
     指針のとこに、
    >この例題の場合は、・・・となるkの値があるから、・・・
    とあるので、たまたまかも。(汗;
     アイコンの件、ありがとうございます。w

  • id:idetky
    > >この例題の場合は、・・・となるkの値があるから、・・・
    > とあるので、たまたまかも。(汗;

    ああ、確かに「となるkの値がある」ことを前提とした話ですよね^^;
    こんなkが見つからなかったら、上のようには解けません。
  • id:imo758
    回答に「n = 1 なら x≠1 、 n >= 2 なら x≠1, 2」は
    必要だと思うんだがなあ…
  • id:massa-will
    みなさん
    遅れまして、すみませんでした。まずは、お詫びします。個人的なトラブルで、そちらに
    かかりきりでした。
    寄せていただきました回答についてですが、まだよく理解できませんorz..
    帰納法のように証拠を見せていないというか、予想しか示していないというか。。。
    繰り返す場合には、それでいいのでしょうか?うーん、わかりません。
  • id:joru_bugu
    横から失礼致します。

    どこまで解答に書けばいいかって結構悩みますよね。この解答を作った人は、この解答例でOKだろうということで、それ以上詳しいことは書いていません。

    だから、もしmassa-willさんが、この解答例で不十分だなぁ、と思ったら、証明を書いてしまえば良いと思います。コメントにてidetky さんが示されている証明なら、もう誰も文句が付けられないことでしょう。

    例えば、

    「三角形の一番長い辺の長さ」<「その他の二辺の長さの和」

    を示せて言われたとき、「それは明確だ」という人もいれば「明確ではない」という人もいると思います。もちろん誰が採点するかによって正解不正解は変わるわけです。だとしたら「明確ではない」と言ってしっかり証明を書いた人の方が点をもらえる確率は高くなりますよね。

    だから今回の場合も、解答例を見て「これで十分だ」という人と「これでは不十分だろう」という人に分かれると思うので、もし不十分だと思ったら書いてしまった方がいいです。採点者が誰だかわからない以上、どこまでを「明確」とするかを量るのは困難なわけですから。

    質問の意図と違ってたらごめんなさいm(__)m

  • id:massa-will
    >質問の意図と違ってたらごめんなさい
    とんでもないです。参考になります。ありがとうございます。
    またちょうど、idetkyさんの回答を終了後にも読んでいたら、はじめの回答で
    すんなり理解できてしまい、あちゃー、何度も煩わせてしまったと反省していた
    ところでした。あと、お返事が遅れまして、すみませんでした。

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