<問題・解答例>

高校数学・恒等式
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090228104759
<質問>
ちょっとこんがらがってしまいました。
 剰余定理:多項式P(x)を1次式x-aで割った余りはP(a)
からすると、本問の答えは
 余りは、1 または 7 または -14
となるのではないかと思ってしまいます。
こんがらがってよくわからなくなっています。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/02/28 11:55:20
  • 終了:2009/02/28 20:18:48

回答(3件)

id:dqndamepo No.1

dqndamepo回答回数337ベストアンサー獲得回数132009/02/28 12:26:52

ポイント50pt

それぞれ、

※7は「x-1で割ったときの余り」(=P(1)のこと)

※-14は「x-2で割ったときの余り」(=P(2)のこと)

※1は「x-3で割ったときの余り」(=P(3)のこと)

です。

出題されているのは、(x-1)(x-2)(x-3)で割ったときの余りですので、それを求めなければなりません。


例えば、P(x)=A(x-a)(x-b)(x-c)+B(x-a)(x-d)+C、というものであったとします。

(A,B,Cはそれぞれ定数です。)

それをx-aで割ったときの余りはP(a)=Cですが、

(x-a)(x-b)(x-c)で割ったときの余りは、B(x-a)(x-d)+Cですよね。

ですから、一次式で割った余りと三次式で割った余りは一致するものではありません。

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/jyoyo_teiri/jyoyo_teiri...

id:massa-will

よくわかりました。ありがとうございます。

リンクも参考にしてみます☆

2009/02/28 20:13:31
id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4401ベストアンサー獲得回数4042009/02/28 13:23:03

ポイント50pt

 剰余定理を使っているのは、P(3)=1だけで、あとは恒等式の数値代入法を使っています。

P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c=(x-1)(x+2)Q1(x)+7xにおいて、

P(1)=0×3×(-2)×Q(1)+a+b+c=0×3×Q1(1)+7×1

∴a+b+c=7

P(2)も同様です。

id:massa-will

>P(3)=1だけで、あとは恒等式の数値代入法を使っています。

理解を整理できました。ありがとうございます。

2009/02/28 20:15:28
id:miku1973 No.3

yoshifuku回答回数35ベストアンサー獲得回数02009/02/28 16:45:29

ポイント40pt

問題を噛み砕くと、

P(x)をx-1で割ったら7・・・①

P(x)をx+2で割ったら-14・・・②

P(x)をx-3で割ったら1・・・③

ですが、

P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったら余りは何でしょう?

という、クイズみたいなフリの問題ですな。

なので、この余りが7か-14か1ってことはないですわ。違う数式で割ってるんだもん。

でもこれって、センター試験の数学では頻出ですよ~。

 

多項式を多項式で割ったら余りも多項式(定数になることもある)です。

なので、余りを2次式のax^2+bx+cとおいて考えるんです。

※ちなみに余りは3次式以上には絶対ならないことがすぐわかります。

 3次式で割っているのですから、余りは2次以下。

※余りが2次式や1次式、0次式(つまり定数)になることはあり得ます。

 その時は、aやbが0で求まることでわかると思います。

 

ax^2+bx+cと置いてしまったら、後は①②③の条件を上手く使ってください。

3つの変数(a、b、cに対し)、3の連立方程式ができますから、各変数の値は計算するだけです!

 

どうでしょう?

id:massa-will

説明を平易にしていただき、とっつきやすいです。ありがとうございます。

2009/02/28 20:17:26

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません