高校数学の数列の和の問題です。


Σ{k/2^(k-1)}
を計算するとどのようになるか、高校数学の範囲内で途中計算つきでお願いします。
(k=1からnまでの整数で考えてください。)

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/03/29 18:31:35
  • 終了:2009/04/05 18:35:02

回答(2件)

id:smoking186 No.1

186回答回数74ベストアンサー獲得回数62009/03/29 18:53:47

ポイント10pt
  1. f(x)=\sum_{k=1}^{n} x^kを考える
  2. 微分するとf'(x)=\sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}.
  3. 今, f'(1/2)=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}が求めたい値.
  4. 一方, x\neq 1のときf(x)=1+x+\cdots+x^{n}-1=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} - 1とも書ける.
  5. これを微分すると, f'(x)=\frac{(n+1)x^{n} \cdot (x-1) - (x^{n+1}-1) \cdot 1}{(x-1)^2}.
  6. よって, f'(1/2) = \frac{(n+1)(1/2)^{n} (1/2-1) - (1/2)^{n+1} + 1 }{(1/2-1)^2} = 4-(n+2)2^{1-n}.

なるべく途中計算を入れました.

id:rsc96074 No.2

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032009/03/29 19:09:25

ポイント10pt

 S=Σ[k=1,n]{k/2^(k-1)}とすると、S-rS法より、r=1/2とすると、

  1. S=1+2r+3r^2+・・・+nr^(n-1)・・・①

rS=...r+2r^2+・・・+(n-1)r^(n-1)+nr^n・・・②

①-②

(1-r)S={1+r+r^2+・・・+r^(n-1)}-nr^n

∴(1-r)S={1-r^n}/{1-r}-nr^n

r=1/2より

S/2=2(1-r^n)-nr^n=2-2r^n-nr^n=2-(n+2)r^n

∴S=4-2(n+2)r^n

∴S=4-(n+2)(1/2)^(n-1)

  • id:rsc96074
    (別解)
    ・S-rS法
    http://www.geocities.co.jp/Technopolis/1505/zk8.htm
     上記URLから、Σ[k=1,n]{k/2^k}=2-(n+2)(1/2)^n・・・①
    S=Σ[k=1,n]{k/2^(k-1)}=Σ[k=1,n]{2×k/2^k}=2×Σ[k=1,n]{k/2^k}・・・②
    ①、②から
    S=2×{2-(n+2)(1/2)^n}=4-(n+2)(1/2)^(n-1)

    ※参考URL
    ・等差・等比型
    http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/rs-s.html

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