高校数学の問題です。

t=tan[x/2], s=(1+sin[x])/(2+cos[x])とおくと、

sin[x]=2t/(1+t^2), cos[x]=(1-t^2)/(1+t^2)だから、

s={1+2t/(1+t^2)}/{2+(1-t^2)/(1+t^2)}=(1+t)^2/(3+t^2)

∴s(t^2+3)=(t+1)^2

∴(s-1)t^2-2t+(3s-1)=0・・・①

これが、実数解をもつ条件から、判別式をDとすると、

D/4=1-(s-1)(3s-1)≧0

∴s(3s-4)≦0

∴0≦s≦4/3

s=4/3のとき、①に代入して、

(1/3)t^2-2t+3=0

∴t^2-6t+9=(t-3)^2=0

∴t=tan[x/2]=3

∴x=2atan[3]≒2.49809154479650885　（ただし、atan[x]は、tan^(-1)[x]でtan[x]の逆三角関数）

よって、x=2atan[3]のとき、与式は最大値4/3

※参考URL

●三角関数公式集

＞【半角の公式２】

http://homepage3.nifty.com/sugaku/kousikisankaku.pdf

http://log.quizfan.com/teach/010403-010828/010807.html

数学的にきちっとした表現・計算過程ではありませんが、

( 1 +sin x ) / ( 2 + cos x ) は、ぼーっと見ていると、( 1 +sin x ) と ( 2 + cos x ) とがばらばらに動いてどんな数値になるか見当が付かないような気がします。

でも、( sin x, cos x ) (0≦x＜2π) を満たす点は円（原点を中心とする半径1の円）を描きます。つまり、わけ分からないところに飛んでいくことはなく、グラフで見ると必ず円周上に制約されます。

すると、( 1 +sin x ) と ( 2 + cos x ) もなんか円を描くんじゃないか、と思いつきます。

点P ( ( 2 + cos x ), ( 1 + sin x ) ) を考えると、 (2,1) を中心とし、半径1の円周上の点（この円をCとする）だと分かる。

こうして見ると、 ( 1 + sin x ) / ( 2 + cos x ) （これをaと置く）は

• 円周C上の点Pについて、y座標をx座標で割ったもの( a = ( 1 + sin x ) / ( 2 + cos x ) )であり、
• Pと座標の原点 (0,0) を通る直線の傾きである。

求めたいのはaの最大値だが、「aは傾きである」とわかったことで、原点を通り円Cと交わるか接する直線の傾きの最大値を求めればよいことになる。

このような直線と円Cのグラフを描いてみれば、aの最大値としては、原点を通り円Cと (2,0) 以外で接する直線の傾きを求めればよいことがわかる（この計算については省略）。

( 1 + sin x ) / ( 2 + cos x ) の最大値は4/3