高校くらいの数学の証明です。


(2^n)+1
が、nが奇数の時必ず3の倍数になっていることを簡単に示したいのですが、苦手ゆえお力頂きたくお願いします。

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/06/14 14:58:40
  • 終了:2009/06/21 15:00:02

回答(5件)

id:shotaroh5663 No.1

shotaroh5663回答回数10ベストアンサー獲得回数22009/06/14 15:57:44

ポイント35pt

ポイント

①n=2*m-1と置く

②数学的帰納法をつかう。



ポイントの①

n が奇数のとき、つぎのように表現できる。

n = 2*m - 1 (m:自然数)


これを(2^n)+1 に代入して

(2^n)+1

= (2^(2*m-1))+1

= 1/2 * 4^m +1



ポイント②

(i) m=1のとき

(2^n+1)

= 1/2*4^1+1

= 3...明らかに3の倍数


1/2*4^m +1が、m=kのときに3の倍数であると仮定すると

(ii)m=k+1のとき

1/2*4^(m+1)+1

= 1/2*4^m + 1/2*4^(1) + 1

= 1/2*4^m + 3...3の倍数(*3の倍数+3は、3の倍数だから)



したがって、m=1のとき3の倍数であり、、

かつ、m=kのとき3の倍数であると仮定して、m=k+1のときも3の倍数であるので、

1/2 * 4^m +1は、つねに3の倍数である。


すなわち、(2^n)+1は、、nが奇数の時必ず3の倍数になっている

id:nobnob3 No.2

考え中回答回数321ベストアンサー獲得回数292009/06/14 16:01:20

ポイント35pt

久しぶりに、高校生の頃の知識を思い出して解いてみました。

n=2i+1 i=0,1,2・・・とする。

I)

i=0のとき

(2^1)+1=3で3の倍数。


II)

i>0のとき

f(i)=(2^(2i+1))+1とすると

f(i+1)

=(2^(2(i+1)+1)+1

=(2^(2i+1))x (2^2)+1

=3(2^(2i+1))+(2^(2i+1))+1

=3(2^(2i+1))+f(i)

ここで、3(2^(2i+1))は3の倍数。

だからf(i)が3の倍数ならf(i+1)も3の倍数

以上より数学的帰納法にてnが奇数の時必ず3の倍数になっていることが証明できた。

id:SALINGER No.3

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692009/06/14 17:59:11

ポイント10pt

奇数を2m-1として代入せずに、数学的帰納法だけ使う方が簡単です。


1) n=1のとき、(2^1)+1=3 で3の倍数


2) (2^n)+1が3の倍数と仮定すると

n+2のとき

(2^(n+2))+1=2^n*2^2+1=4(2^n)+1=4((2^n)+1)-3

これは3の倍数となる。

(0以下の奇数の場合を考慮するならn-2としてもいい)


3) 1)と2)からnが奇数の時必ず3の倍数となる。

id:debedebe No.4

debedebe回答回数123ベストアンサー獲得回数02009/06/16 15:06:43

ポイント10pt

因数定理を知っているとこんな導出が出来ます。

一般に、(x^n)+1(n=奇数)は、x+1を因数として含みます。

それは、(x^n)+1(n=奇数)にx=-1を代入すると全体が0になるからです。

全体が0になるなら、これはx+1で割れる、つまりx+1を因数として含む。これが何故かは因数定理を勉強するとわかります。

そして、これを言ってしまえば、あとはxに2を入れると問題の式になる。

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 翅生丸 202 41 19 2009-06-14 15:24:24
  • id:nobnob3
    おせっかいですが、
    1/2*4^(m+1)+1

    = 1/2*4^m + 1/2*4^(1) + 1
    ここの計算は成り立たないきがします。
    例えばm=1のとき
    1/2*4^(m+1)+1=9

    = 1/2*4^m + 1/2*4^(1) + 1=6
    となってしまいます。
  • id:shotaroh5663
    shotaroh5663 2009/06/14 21:40:44
    間違ってますね汗
    ご指摘ありがとうございます。

    (ii)m=k+1のとき
    1/2*4^(m+1)+1
    = 4{1/2*4^m } + 1
    = 4{1/2*4^m } + 4 - 3
    = 4{1/2*4^m+1} - 3...3の倍数(4*3の倍数-3は、3の倍数)
  • id:rsc96074
    n=2m+1とおいて、m=0から始めたほうが楽かも。
    (2^n)+1={2^(2m+1)}+1=2・(4^m)+1
    f(m)=2・(4^m)+1として、数学的帰納法を使うと、
    (i)m=0のとき、
    f(0)=2×4^0+1=3
    ∴3の倍数となって成立。
    (ii)m=kのときに成り立つと仮定すると、
    f(k)=2・(4^k)+1=3p
    ∴2・(4^k)=3p-1・・・①
    f(k+1)=2・{4^(k+1)}+1=4・{2・(4^k)}+1
    これに①を代入して
    f(k+1)=4・{3p-1}+1=3(4p)-4+1=3(4p-1)
    よって、m=k+1のときにも成り立つ。
  • id:SALINGER
    そもそも、n=2m+1と代入しなくても、数学的帰納法だけで解くことができます。
  • id:nobnob3
    f(n)=(2^n)+1
    n=1,3,5・・・
    い)n=1
    f(1)=3 よって3の倍数
    ろ)f(k)=(2^k)+1が3の倍数とする。
    f(k+2)
    =(2^(k+2))+1
    =4*2^k+1
    =3*2^k+2^k+1
    =3*2^k+f(k)
    ということでしょうか?
  • id:rsc96074
    なるほど、そういう手もあったか。奇数をどう表現するのだろうと思っていました。
  • id:doji
    n=2k+1とおくと(k=0,1,2...)
    k=0の時
    (2^1) + 1 = 3 
    kが正の整数の時
    (2^n) + 1
    =2^(2k+1) +1
    =2*(3 + 1)^k +1
    kが正の数の時、二項定理により任意の整数をAを用いて(3 + 1)^k = 3A + 1とおけるので
    =2(3A + 1) +1
    =3(2A + 1)

    みたいな感じで帰納法使わずにできませんかね??
    なんか減点させられそうかな・・

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