高校生ぐらいのころ、「数学も、昔は実験してある程度正しいとわかったら証明なしで正しいとしていた(たとえば任意の自然数nについての命題が、n<1億のすべての自然数で実験してみたら成り立ったので、任意の自然数についても成り立つと認める)が、そうして認められていた命題に反例が(たとえばn=1兆くらいで)あって、覆ることが何度かあって、それから数学はいくら実験的に正しいだろうと思われても証明しない限り認められなくなったのだ」という内容のことを本で読んだのですが、なんという本だったのか思い出せません。このようなことが書いてある本をご存じの方は教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2009/06/30 23:24:27
  • 終了:2009/07/06 21:24:08

ベストアンサー

id:SALINGER No.2

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692009/07/01 00:55:24

ポイント35pt

これは「フェルマーの最終定理」の一節です。

それに出てくる”オイラーの予想”がそれではないかと思います。

オイラーは次の方程式には自然数解がないと主張した。

X^4+Y^4+Z^4=W^4

200年の間誰にも証明できなかったが、1988年に次の解が見つかる。

2682440^4+15365639^4+18796760-4=20615673^4

オイラーの予想は間違いであることが証明される。

少ない自然数では成り立たないことはわかっていたが、全ての自然数で成り立たないわけではなかった例です。

また、ガウスの「過大評価素数予想」というのも紹介されてます。


比較的時代的に新しいので違うかもしれませんが、これらを取り上げた本かもしれません。

id:threeaster

ありがとうございます。(garyoさんにありがとうを言うのを忘れていました、すみません、ありがとううございます。)

ぜひ読んでみたいのですが、「フェルマーの最終定理」とはこれでしょうか→http://www.amazon.co.jp/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%...

似たようなタイトルの本が多くてよく分からなかったので、よろしければ本の詳しい情報を教えていただけないでしょうか。

また、"数学にも帰納的に結論していた時期があったが、それで失敗があって、演繹しか認めないようになった"という内容ではないように思われます。

2009/07/01 01:15:13

その他の回答(3件)

id:garyo No.1

garyo回答回数1782ベストアンサー獲得回数962009/06/30 23:50:52

ポイント20pt

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%A...

ラッセルのパラドックス:「自分自身をその要素として含まない集合」を考えた時矛盾が生じて「数学の危機」と呼ばれたため

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%A...

ヒルベルト・プログラム「証明を形式化することで、数学全体の完全性と無矛盾性を示そうという試み」をヒルベルトさんがやろうとしたところ、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B...

クルト・ゲーデルさんが、「数学は自己の無矛盾性を証明できない」ことを示した不完全性定理を証明した話でしょうか?


それとももっと古い、ガリレオ・ガリレイの

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%B9%B9

演繹

(重いものと軽い物を結んだ場合、1)重い物より遅く、軽い物より早く落ちる(重い物と軽い物の間の速度で落ちる)、2)(重い物+軽い物)の重さがあるのだから重い物より早く落ちるのどっちが正しいんだ?という話と

とフランシス・ベーコンの提唱した帰納の話でしょうか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B0%E7%B4%8D

id:threeaster

演繹と帰納の話ですね。"数学にも帰納的に結論していた時期があったが、それで失敗があって、

演繹しか認めないようになった"という内容が書いてある本が知りたいです。

2009/06/30 23:56:47
id:SALINGER No.2

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692009/07/01 00:55:24ここでベストアンサー

ポイント35pt

これは「フェルマーの最終定理」の一節です。

それに出てくる”オイラーの予想”がそれではないかと思います。

オイラーは次の方程式には自然数解がないと主張した。

X^4+Y^4+Z^4=W^4

200年の間誰にも証明できなかったが、1988年に次の解が見つかる。

2682440^4+15365639^4+18796760-4=20615673^4

オイラーの予想は間違いであることが証明される。

少ない自然数では成り立たないことはわかっていたが、全ての自然数で成り立たないわけではなかった例です。

また、ガウスの「過大評価素数予想」というのも紹介されてます。


比較的時代的に新しいので違うかもしれませんが、これらを取り上げた本かもしれません。

id:threeaster

ありがとうございます。(garyoさんにありがとうを言うのを忘れていました、すみません、ありがとううございます。)

ぜひ読んでみたいのですが、「フェルマーの最終定理」とはこれでしょうか→http://www.amazon.co.jp/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%...

似たようなタイトルの本が多くてよく分からなかったので、よろしければ本の詳しい情報を教えていただけないでしょうか。

また、"数学にも帰納的に結論していた時期があったが、それで失敗があって、演繹しか認めないようになった"という内容ではないように思われます。

2009/07/01 01:15:13
id:kanan5100 No.3

kanan5100回答回数1469ベストアンサー獲得回数2752009/07/01 02:13:43

ポイント20pt

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2

ギリシア数学は、以前の文化で発達した数学に比べて遥かに洗練されたものであった。ギリシア以前の数学は、すべて帰納的推論を示している。すなわち、繰り返した観測で経験則を証明した。ギリシア数学は、対照的に、演繹法を使用した。ギリシア人は、定義および原理から結論を得る論理を使用した。

要するにこういうことが書いてある本だと思うのですが、特定はなかなか難しいですね。

ギリシアに遡る数学の歴史について書かれた本でしょう。

高校生くらいで読む本となると、この本かもしれません(中身を確かめたわけではありませんが)。

数学の歴史 (講談社学術文庫)

数学の歴史 (講談社学術文庫)

  • 作者: 森 毅
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • メディア: 文庫

id:threeaster

ありがとうございます。勧めてくれた本をはじめ、数学史関係を調べてみようと思います。

2009/07/01 02:22:42
id:hijk05 No.4

hijk05回答回数1307ベストアンサー獲得回数232009/07/01 12:28:54

ポイント15pt

なぜこの方程式は解けないか?―天才数学者が見出した「シンメトリー」の秘密
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id:threeaster

ありがとうございます。読んでみます。

2009/07/01 13:10:35
  • id:SALINGER
    サイモン・シン著のその本です。
    本ではまさに「数学はいくら実験的に正しいだろうと思われても証明しない限り認められない」
    ということを説明するくだりの、例としてそのオイラー予想をとりあげています。
    ですが、その本はごく最近の本なので高校生のときに読んだ本ではないと思います。

    余談ですがもう一つ、その本で取り上げてる例は、
    31 331 3331 33331 333331 333331 3333331 33333331・・・・
    と続く数は素数であるというもの。
    17世紀の数学者はパターンから素数だと予測したが、次の333333331は素数ではないことがわかる。
  • id:threeaster
    さっそく、SALINGERさん推薦の「フェルマーの最終定理」を読んでみました。「数学はいくら実験的に正しいだろうと思われても証明しない限り認められない」ことの実例を見れたのは大きな収穫でしたし、本自体面白かったので読んでよかったです。ありがとうございました。ですが、「過去、実験的に正しいだろうと思われたことが証明なしで正しいとされた」例が知りたいので、ちょっと私が求めていたものと違いました。

    あと、この本に
    >>
    谷山=志村予想は未証明の予想だったにもかかわらず、もしもそれが証明されたら何が言えるか、という推測の形で、何百もの論文に登場していた。……谷山=志村予想という一つの予想を土台として、まるまる一つの新しい建造物ができあがっていったのである。しかしこの予想が証明されないうちは、いつなんどき、そのすべてが崩壊してもおかしくはなかった。
    <<
    という記述があり、これを読んで思い出したのですが、私が読んだ本には「実験的に正しいだろうと思われていたことを証明なしで(定理として)使って、それをもとに新たな定理を作っていったが、のちにその大元となる(証明なしで認められていた)定理に反例が見つかって、その上に積み上げられていた議論が崩壊した」ということが書いてあったような気がします。(情報を小出しにして申し訳ございません。)
  • id:SALINGER
    それはたぶん、ユークリッド幾何学での公理のことではないかと思う。
  • id:SALINGER
    原論の第5公準をめぐる平行線問題では、第5公準が証明できないことによりそれを使う命題が証明されないことに他ならなく19世紀の数学者を悩ませました。
    それは、後に「公理・公準」はなんら「真理」である必要は無く単なる「仮定」で十分というヒルベルトの公理主義へとつながります。
    反例が見つかったわけでもなく、議論が崩壊したわけでもありませんが、これを指してるような気がします。
    参考「数学序説」
    http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BA%8F%E8%AA%AC-%E5%90%89%E7%94%B0-%E6%B4%8B%E4%B8%80/dp/4563001015
  • id:threeaster
    記憶が正しければユークリッド幾何学の公理の話ではないですね。
    紹介された「数学序説」は数学史の本みたいなので、読んでみようと思います。
  • id:threeaster
    kanan5100さんが勧めてくれた(ありがとうございます)「数学の歴史」を読んでみたのですが、これは数学と社会の関係を歴史的に書いたものみたいで、私が求めていたものとは違いました。
  • id:threeaster
    解答していただいた方々、ありがとうございました。求めていた本は解りませんでしたが、良い本をいろいろ知ることができました。
    もし、これじゃないだろうかという本を知っている方がいらっしゃいましたら、コメント欄にお願いします。もし私の求めているものでしたらポイント送信します。

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