高校くらいの数学です。


以下で、xとyがすべての実数をとるとき、zの範囲ははどのようになりますか?

http://pub.idisk-just.com/fview/qTXX5emK7xt1jJFhX0tr7xTDNHG0PK0wlI9CJ5y6ZvlxsL4pN07lrBi1dvq9ZggZ/U0FWRTAwMzA.JPG

計算過程つきで、どうぞよろしくお願い致します。

(コメントも書けるようにしてあります)

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/07/02 20:31:46
  • 終了:2009/07/07 13:36:23

ベストアンサー

id:doji No.1

doji回答回数201ベストアンサー獲得回数302009/07/03 07:18:17

ポイント60pt

まずy'=y-3として式を簡単にします。が、めんどくさいのでy'はyと表記します。

z=(x*y±2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

ここでxを固定し、yを変数とした関数f(y)、g(y)を考える

まず+の時を考える

f(y)=(x*y+2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2))/(x^2+4)とおくと

f'(y)=(x+2(x^2+3)^(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

f'(y)=0とおき、移動したり2乗したりして整理すると

(x^2-3y^2)(x^2+4)=0

y=±x/√3

実際代入すると0となるのはy=-x/√3のみ、重解無しです。

んで

f(-x/√3)=(x*(-x/√3)+2((x^2+3)*(x^2+(-x/√3)^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

=√3

重解無しなので、他の数字を代入してみたら分かるんですが、これは下に凸なグラフです。√3=<zが求まります</p>

同様に-の時を考えると

g(y)=(x*y-2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

g'(y)=(x-2(x^2+3)^(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

g'(y)=0で(x^2-3y^2)(x^2+4)=0、y=±x/√3

実際代入すると0となるのはy=x/√3のみ

g(-x/√3)=(x*(x/√3)-2((x^2+3)*(x^2+(x/√3)^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

=-√3

上に凸なので-√3=>zです


以上より、z=<-√3,√3=<zがzのとる範囲です。</p>

高校生はんぱないですね。

yを変数として取ったのは、微分がしやすいからです。xで微分しようとしたら死んだので。

id:miku1973

ありがとう。わかりやすいです。

7行目の

f'(y)=(x+2(x^2+3)^(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

は、

f'(y)=(x+2(x^2+3)^(1/2)*(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

じゃないかな。

あと、g(y)のyが±∞のときは、g(y)は-∞でOK?

よければお願いします!

2009/07/04 05:31:12
  • id:doji
    miku1973さんの指摘の通りでした。紙に書いたのが無かったので検算し直しましたが1/2を書き忘れてました。g'(y)も同じ様に間違っているので訂正お願いします。答えのルートを考えるので私は色々と尽きてしまっていたのでしょう。

    >あと、g(y)のyが±∞のときは、g(y)は-∞でOK?
    ぶっちゃけ収束の事は忘れていて、極限の関わる部分は適当にしか記述していませんでした。(すみませんーー)
    たとえばy=-x/√3だと、f(y)は常に√3です。最初y, f(y), f'(y)で増減の表を作ろうと思ったんですが、xによって値が変動するので無理と判断しました。ここはこの問題の難しいところの一つだと思います。
    「y=x^2の場合、x→+∞でf(y)→+∞」の様に特例的な値を取って示すのが答え方として簡便で良いと思います。(あまりスマートではないと思いますが)
    同様に「y=x^2の場合、x→-∞でg(y)→-∞」で良いと思います。
  • id:doji
    そういえば、z(x^2+4) - xy = 2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2)と変形したものを両辺2乗して整理すると
    (4x^2 +3y^2 +2xyz -(x^2)(z^2)- 4z^2 +12)(x^2 +4)=0 と想像以上にきれいにまとまります。
    4x^2 +3y^2 +2xyz -(x^2)(z^2)- 4z^2 +12=0 が実数解を持つように解くのも一つの方法としてあるかもしれないです。
    xの方程式にして、D/4とか計算した結果、頓挫しましたが。
  • id:miku1973
    ありがとうございました。いるか贈ります!

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