数学になりますが、どうぞよろしくお願い致します。



---
今、楕円:3x^2-2x+4y^2-5=0
があります。

点A(1,0)
点B(0,1)
楕円の周上の点C(x,y)
とするとき、
AC+CB のMAX値とMIN値はどうなるでしょうか。
---


自分なりに考えたのですが、
楕円上の点をパラメータ表示して考えると、思いのほか計算が複雑になりすぎて上手くいかないようです。

実は、点A(1,0)というのはこの楕円の焦点の1つでもあります。
もう1つの焦点は(-1/3,0)なんですが、これを点Dとします。

ですので、感覚的には、
直線BDと楕円との交点を考えると2つありますが、点Cがy>0側の交点の位置のときMIN値をとり、y<0側の交点の位置のときMAX値をとる気がするのですが、所詮感覚論でして根拠が全くありません。

知りたいのはMAX値とMIN値及びそれらの導き方なのですが、私の感覚論が正しいか誤りかでも構いませんのでアドバイスいただけないでしょうか。

どうぞよろしくお願い致します。










本件こちらの質問の追加になります。
http://q.hatena.ne.jp/1247014785

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/07/10 09:21:39
  • 終了:2009/07/17 09:25:03

回答(1件)

id:drill256 No.1

かえる回答回数175ベストアンサー獲得回数72009/07/10 13:03:16

ポイント60pt

合っていると思います。


楕円ですので、

AC + CD = l

になります。


BCDの三角形をイメージして考えました。


まず最小値を考えると、

AC + CB + BD ≧ AC + CD = l

BDの長さは固定ですから、AC + CB が最小なのは、

AC + CB + BD = AC + CD

となる時です。

したがって、B, C, Dが直線上に並んだときが最小です。


最大値を考えると、

l + DB = AC + CD + DB ≧ AC + CB

ですから、AC + CB が最大なのは、

AC + CB = l + DBとなる時です。

したがって、B, C, Dが直線上に並んだときが最大です。

id:miku1973

ありがとうございます。

 

ごめんなさい。

わからないので教えてください。

 

この説明は点Dを通ることを前提に説明されているように思えてなりません。AとBとCは通りますが、点Dは通るのか通らないのかわかりません。(結果としてはBCの延長線上にDがくるようですが・・・)

 

私の解釈が間違っているかもしれないので、補足してもらえないでしょうか?

 

 

【追記】

> BCDの三角形をイメージして考えました。

 

やっぱり、この時点で三角形がDを通ることが前提となって始まっているのでダメのような気がします。結果としてDを通らなければならないことが導かれるならOKなのですが、最初からDを通る前提で最大最小を考えてしまっている気がします。

2009/07/10 13:36:54
  • id:drill256
    まず、Aの真上ぐらいに点Cがあることを考えます。
    楕円なので、AC + CD = l は成り立ちますよね。
    ここで、AC + CB を考えるとき、BDに補助線を引きます。
    すると、BC CD DB の3つの直線で三角形が出来ますよね。
    (CDBは直線上ではありません)
    このとき、三角形の1辺は他辺の和より短いので、
    DB + BC > CD が成り立ちます。①

    また、B も D も、位置が固定の点ですから、BDの長さも固定です。
    したがって、AC + CB の最小値を求めるということは、
    AC + CB + BD の最小値を求めるのと等価です。

    ①から、AC + CB + BD > AC + CD と言えます。
    AC + CD = lですから、
    AC + CB + BD > lです。

    ここで、点Cを点Bの上の方に移動していくことをイメージします。
    すると三角形BCDはどんどん細長くなっていきます。
    そして、DBCが直線上に並んだところで面積が0になり、
    AC + CB + BD = l となります。
    これがAC + CB + BDの最小値であり、
    すなわち、AC + CBの最小値です。


    最大値を求めるときは、
    CをまずAの真下あたりに置いて考えます。
    AC + CD = l です。
    また三角形なので、CD + DB > CB です。
    AC + CD + DB = l + DB は、Cがどの位置でも一定です。
    この2つの式から、
    AC + CD + DB > AC + CB
    が成り立ちます。

    そして、Cを左に動かしていって、Bの真下を通過してBDの直線上にCが来たとき、
    AC + CD + DB = AC + CB
    となります。このときがAC + CBの最大値となります。
  • id:drill256
    >点Dは通るのか通らないのかわかりません。
    これについて答えていませんでした。

    最大値の時は、折れ線AC-CBは点Dを通ります。
    最小値の時は、折れ線AC-CBは点Dを通りません。ただしCBの延長線上に点Dがきます。

    最大値、最小値以外の時は、点Dは直線CB上に来ることはありません。
    ただし、一意の点Cで、直線AC上に点Dがきます。
  • id:miku1973
    ありがとう!
     
    > したがって、AC + CB の最小値を求めるということは、
    > AC + CB + BD の最小値を求めるのと等価です。
     
    どうしてもこの部分がわかりません。
    これが成り立つのは、Dに向かって補助線を引いていることが前提だからではないでしょうか?なぜBから焦点Dに向かって補助線を引くのか???その理由が知りたい。
     
    「D以外の点D'(x軸上の点)に向かって補助線を引き、同様に考えたら、●●という理由でAC + CBは最大最小をとりえない。だから点Dに向かって補助線を引く。」
    このような事前説明がなんとかできないでしょうか?
     
    繰り返しますが、Dを考慮すれば、
    AC + CD = l
    という楕円の特性が扱えますから、非常に便利だということはわかります。ですが、なぜAC + CBの最大最小を考えるのに、Dを扱うという発想が生まれるのかがどうしてもわからないのです。
     
    もう少しアドバイスいただければ幸いです。
  • id:drill256
    すみません。一生懸命考えたのですが、なぜDを使うのかを説明できません。
    そこにDがあったから使ったというか、
    miku1973さんの説明文を見て思いついたというか。
    使ってみたら出来ちゃったというか。

    ただ、楕円ですから、焦点を何とか利用できないだろうか?と考えるのは
    比較的自然な考え方ではないかと思います。
    (補助線を引いてさらに対称点を用意して、などとやるのと比べれば)

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